今天我們來探索費馬點。首先將三角形分為兩種情況:
①當三角形有一個內角大於或等於一百二十度的時候，則費馬點就是這個內角的頂點。
下面來驗證這個結論: 對三角形內任意一點P,延長BA至C’使得AC=AC’，做∠C’AP’=∠CAP，並且使得AP’=AP, PC’=PC，即把三角形APC以A為中心做旋轉變換(如圖)。
則△APC≌△AP’C’（旋轉的不變性）
∵∠BAC≥120°（已知）
∴∠PAP’=180°-∠BAP-∠C’AP’（平角的意義）=180°-∠BAP-∠CAP（等量代換）=180°-∠BAC≤60°
∴等腰三角形PAP’中（已知AP’=AP），AP≥PP’（∠PAP’＜∠AP P’）
∴PA+PB+PC≥PP’+PB+ P’C’>BC’（兩邊之和大於第三邊）=AB+AC（已知AC=AC’）
所以A是費馬點。即之前的結論。
下面探討第二種情況：
②如果三個內角都在120度以內，那麼，費馬點就是使得費馬點與三角形三頂點的連線兩兩夾角為120度的點。
做△ABC內一點P，使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°，分別作PA,PB,PC的垂線，交於D,E,F三點（如圖），再作一點P’，不與點P重合，連結P’A,P’B,P’C，過P’作P’H垂直EF於H。
∵∠APB=120°，∴∠PAB+∠PBA＝180°－120°=60°
且∠PAF=∠PBF=90°，∴∠F=180°－（90°+90°－60°）
同理可得：∠D=∠E=∠F=60°，即△DEF為等邊三角形，設邊長為d，面積為S。
則S= 1/2 d (PA+PB+PC)
∵P’H ≤ P’A
∴ 1/2×d×P’H×2S ≤1/2 ×d ×P’A×2S
又∵1/2×d×P’H=△EP’F ∴ 2S△EP’F≤ d ×P’A×S
同理有：2S△DP’F≤d ×P’B×S ， 2S△EP’D≤d ×P’C×S
相加，得：2S(△EP’F+△DP’F+△EP’D)≤ d ×S (P’A+P’B+P’C)
又∵△EP’F+△DP’F+△EP’D=△EDF
2S×S ≤ d ×S (P’A+P’B+P’C) 兩邊同除以S，得：2S ≤ d (P’A+P’B+P’C)
把S= 1/2 ×d (PA+PB+PC)代入上式可得：
PA+PB+PC≤P’A+P’B+P’C，若且唯若P,P’重合時取到等號。
所以P是費馬點，即與上述結論相符合。
經過上述的.推導，我們即得出了三角形中費馬點的找法：
當三角形有一個內角大於或等於一百二十度的時候，費馬點就是這個內角的頂點；如果三個內角都在120度以內，那麼，費馬點就是使得費馬點與三角形三頂點的連線兩兩夾角為120度的點。
八年級㈢班 林賢昊
費馬（Pierre de Fermat,1601—1665）是法國數學家、物家。費馬一生從未受過專門的數學，數學研究也不過是業餘之愛好。然而，在17世紀的法國還找不到哪位數學家可以與之匹敵。他是解析幾何的發明者之一；概率論的主要創始人；以及獨承17世紀數論天地的人。一代數學大師費馬堪稱是17世紀法國最偉大的數學家。尤其他提出的費馬大定理更是困惑了世間智者358年。