縱橫交替探尋均衡的數學化

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張繼紅

摘  要：通過課堂實踐，總結得失，從“立足生活實際，在解決現實問題中呈現橫向數學化”、“經歷‘操作—表象—符號’的認知過程，推進縱向數學化”以及“橫縱交錯，構建現實主義的‘數學化’課堂”3方面進行了具體論述，旨在發揮現實主義課堂的積極作用，提高數學教學的實效性，從而促進學生數學思維能力的發展，激發學生的主體意識和創新意識，培養學生初步的探索、解決問題的能力。同時，均衡的數學化又為教師進行教材分析、實施有效教學提供了可供自我監測的明確標準。

關鍵詞：國小數學 　數學化　 教學實踐

【文獻標識碼】B　　　　　【文章編號】1728-2462(2008)06-0082-03

人們運用數學的方法觀察現實世界，分析研究各種具體現象，並加以整理組織，以發現其規律，這個過程就是數學化；簡單地說，數學地組織現實世界的過程就是數學化。

——弗賴登塔爾（荷蘭）

數學新課程把數學作為人類的1種活動來體驗。因此，數學教學的主要方式不是“教”給學生現成的、定論的知識，而是指導學生“再創造”，“使它好像就是接受著自己的產物”。這裡的“再創造”就是“數學化”，它包括橫向數學化和縱向數學化。前者指由現實問題到數學問題的轉化，是把生活情境問題表述為數學問題的過程，通過這1過程，把現實情境轉化為數學符號；後者是在前者之後的數學化，是從具體問題到抽象概念和方法的轉化，是數學範疇內對已經符號化了的問題作進1步抽象化處理的數學化過程。簡單地說，將現實問題轉化為數學問題就是水平的橫向數學化，而將這個問題向垂直方向深入探究，即縱向數學化。經過數學化得到1個新的數學概念之後，還有1個總結、反思、應用的過程。

橫向與縱向數學化因素都是學生再創造的物件，要使兩者均衡發展，才是現實主義的數學教育，才能實現促進學生1般發展與特殊發展的教育價值。這種課程新理念雖然得到了廣大教師的認同，但在實施過程中也遇到不少問題和困惑，特別是擔心數學活動的教學方式，會加劇兩極分化，會導致學生對基礎知識與基本技能的掌握不紮實。因此，我們必須關注：在新理念下，課堂教學的有效性，必須探究實施有效教學的策略，必須堅持橫向數學化與縱向數學化的均衡發展。筆者根據親身實踐，談談在實施數學化教學中的若干體會：

1、立足生活實際，在解決現實問題中呈現橫向數學化

橫向數學化是“把生活世界引向符號世界”，教師的責任是創設適合進行數學化活動的具體生活情境，並有效地指導學生參與到數學化的各個方面中去。

例1：國小數學中的《平均數》。在生成點的把握上要認識到今天的平均數教學與過去不同，今天是在統計（知識點）的'背景下。學生會有：“有統計總數不就可以了嗎？為什麼要有平均數？”類似的疑問。
    那麼，首先讓學生親歷的過程是：為什麼要學平均數？可以設計1個情境：讓3個人1組進行拍球比賽，這時可以用總數。但如果某1組有4個人拍球，學生馬上就會說“不能再用總數，這樣不公平！”——這就是生成點。積累數學活動的經驗，呈現出橫向數學化的盎然生機。
    例2：《盈虧問題》其實是奧數中的1個知識點，在教材中雖然屬於只教不考的內容，但是如何讓學生把握好其中的不變數呢？在教學設計中，我沒有出現“盈虧問題”這個讓學生不易理解的學術名詞，而是以“春遊中的數學問題”取而代之，1下子拉近了與學生的距離。在新授環節中，我也秉承了“立足現實生活”的原則，進行了如下設計：

問題：春遊活動中，我們全班小朋友乘坐8條遊船，每條船可坐4-6人，有幾種不同的方案？（填入下表）

學生根據班級總人數37人，得到以下3種方案：

1、每船坐4人，還多5人；

2、每船坐5人，還少3人；

3、每船坐6人，還少11人。

繼而提出：每條船坐的人數不同，結果也不同，但是其中有什麼量始終沒變？學生很容易就找出船的數量和總人數就是其中的不變數。在方案的設計中，學生體驗了橫向數學化的過程，並且為隨後的縱向數學化打下了基礎。如果是a條船，總人數如何表示？（如：<?xml:namespace prefix = st1 ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:smarttags" />4a+5）然後把每條船的人數和結果相差幾人都用字母b、c表示時，即得到總人數可用抽象的字母式ab±c來表示，再根據總人數不變列出方程，讓難題迎刃而解。

橫向數學化的宗旨是架起“數學”與“生活”的橋樑。希望學生從生活情境中抽象出數學問題，因此數學課堂上的生活情境必須要有數學的含量，如同去金礦淘金、到漁場捕魚1樣，教師應當精心篩選，讓有數學價值的生活情景引領學生走進數學化的天地。

2、經歷“操作—表象—符號”的認知過程，推進縱向數學化

縱向數學化是“在符號世界裡，符號的生成、重塑和被使用”，縱向數學化的產物是生成抽象的數學知識之間的聯絡，所以縱向數學化是數學教學的核心活動，是橫向數學化的進1步發展，它真正能把學生引入數學世界。數學新課程強調數學教學要遵循學生學習數學的心理規律，什麼是學生學習數學的心理規律呢？布魯納關於兒童智力發展的研究表明，兒童的認知發展需要經歷3個發展階段：動作認知、圖形認知和符號認知。這3個發展階段對應著兒童思維發展的3種水平：操作水平、表象水平和分析水平。從下面的課例中可以看到數學化過程是怎樣促進學生思維發展的：

《設計紙盒》是在區教研室指導下進行的1次數學化教學實踐。圍繞著“1張正方形卡紙，剪去4個角後折成1個無蓋的長方體盒子，怎樣剪才能使其內部空間儘可能大1些？”這1數學問題展開探究。

以邊長12釐米的正方形為例，學生分4步進行研究：

第1步——通過討論得出：剪去的小正方形的邊長可能為1-5釐米（取整數）；

第2步——分別製作出5種無蓋長方體盒子，並猜想哪種盒子的容積最大；

第3步——操作驗證：用倒多少米和計算容積的方法得到結果；

第4步——當正方形的大小變化時，剪去的4個小正方體的邊長為多少，盒子的容積最大。

如表：

從得出的結果（如上表），學生得到了初步的結論：當長方形卡紙的邊長是剪去的4個小正方形邊長的6倍時，所得到的無蓋盒子容積最大。這個結論是否完全正確？如果邊長不是整數時結果又將如何？來自學生的1系列問題更加推進了縱向數學化的發展，促進了學生深層次的思維發展。

數學活動是讓學生經歷1個數學化的過程，即讓學生從自己的數學經驗出發，經過自己的思考、概括或發現有關數學結論，從而培養學生的創新意識，形成初步的探索和解決問題的能力。學生憑藉操作實驗形成初步表象；再通過引導學生對具體問題作進1步研究並根據研究結果修正初步形成的數學語言，讓學生親身經歷了1個從具體到抽象的縱向數學化的過程。

3、橫縱交替，構建現實主義的“數學化”課堂

弗賴登塔爾以前並不接受橫向與縱向數學化的劃分，但最終他不僅接受了這種劃分的思想，甚至到了極力推崇的地步。原因是：如果用雙重的2分法分別從橫向數學化和縱向數學化進行分類，數學教育可以分成4種類型：

從上表中可以看出，4種數學化的教學型別分別對應著不同的哲學觀：
1、缺少橫向數學化，也缺乏縱向數學化，是機械主義的教學：
2、橫向數學化得到成長，但縱向數學化不足，是經驗主義的教學；
3、橫向數學化不足，但縱向數學化被培養起來，是結構主義的教學：
4、橫向數學化與縱向數學化都得到成長，是現實主義的教學。

數學知識的發展不是單線地朝1個方向發展，當前我國基礎教育數學課程改革也倡導現實主義的教學，橫向數學化與縱向數學化要結伴而行、均衡發展。數學課要上出數學味，選擇橫向的和縱向的數學化兩個標準，來設計和分析數學教學，能幫助教師更好地理解自己教學設計的明確的或含蓄的意圖，防止數學教學偏離現實主義的正確道路。1堂好的數學課或者1個好的教學環節應該是橫向數學化與縱向數學化均衡發展的過程，可以嘗試以下幾種教學策略：

1、針對性地“設情境”——橫向數學化和縱向數學化相繼呈現。

從以上的諸多例項中不難發現，數學化過程常常由橫向數學化開始，以縱向數學化結束。來源於現實問題的橫向數學化，1旦轉化成或多或少具有數學性質的問題時，就從具體問題轉化到抽象概念和方法，自然過渡到縱向數學化的過程。又如：《搭配中的學問》中，小巧有3件上衣和4條裙子，可以有多少種不同的穿法？橫向數學化在於找出問題的結構，這可以從某種巧妙的計算開始，而最終用乘積來完成縱向數學化。

2、創造性地“用教材”——橫向數學化和縱向數學化同步呈現。

在1些教學內容中，橫向數學化和縱向數學化可以通過不同的方式來說明同1個問題。例如：教學乘法時，5的6倍可以用5行6列（或6行5列）的矩形圖式來進行橫向數學化，而縱向數學化則得到數列：5、10、15、20、25、30。從不同的角度出發，其最終目標卻是1致的。

3、引導學生“做數學”——橫向數學化和縱向數學化交替呈現。

弗賴登塔爾關於“數學化”的演講稿中舉例到：用於幾何（形狀）給出的積數，它們的大小和關係就屬於橫向數學化問題。例如（圖4），前n個奇數的和等於n的平方，又如（圖5）：第n－1個3角形數和第n個3角形數的和等於n的平方。長期以來，這都是橫向的經驗，而且1旦把這種敘述和關係表達成公式進行處理，縱向數學化就佔了主導。證明這種關係的歸納步驟具有縱向的特徵，即使在很長的時間內它將像橫向的那樣起作用。在證明中所用的完全歸納法語言也表現出縱向的數學化。

從“1支蛋筒3元，24元能買幾支？”能歸納出：24裡有幾個3？或者24是3的幾倍？這兩個簡單的數學問題都揭示了實際問題中蘊含的數學結構——除法結構，進而列出除法算式：24÷3，至此完成了橫向數學化。利用口訣求商，得到數學問題的解8，這是縱向數學化。再回到實際問題的情境，解釋和檢驗這個抽象的解8的實際意義，做出實際問題的答案。這個過程也反映了從具體到1般，再從1般到具體的人類認識真知的辯證道路。

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