談數學歸納法在物理中的應用
應用數學方法處理物理問題是高中物理教學大綱明確指出的一項重要教學內容 ，也是大學聯考能力考察的重要組成部分，同時也體現了數學這門學科的工具性和實用性，加強學科間的滲透，強化對學生能力的考查。 例：我們在火車站常看到載重列車啟動時，機車要往後倒退一下，目的是使各節車廂之間的掛鉤都離開一段距離，以便於啟動，這是因為機車和車廂與鐵軌之間的最大靜摩擦力大於它們之間的動摩擦力，若機車不倒退直接啟動，啟動以後機車和車廂與鐵軌之間的摩擦力由靜摩擦力變為動摩擦力，當列車加速到一定的速度後，列車的機車就必須減少牽引力使列車勻速直線運動，資源不能得到充分的利用，所以載重列車常常採用我們所見到的啟動方式啟動。今有一列載重列車，若它不倒退以恆定的牽引力直接啟動，機車的牽引力能帶動49節車廂（不含機車），那麼它利用倒退後用同樣大小的恆定牽引力啟動，該機車啟動59節同樣質量的車廂以後，恰好做勻速直線運動，已知機車與各節車廂的質量均為m，機車和各節車廂與鐵軌之間的動摩擦力為μmg，假設機車倒退後，各節車廂之間的掛鉤離開相同的距離s，機車加速後，每拉動一節車廂的瞬間可近似地認為滿足動量守恆定律的條件。求：（1）每一節車廂與鐵軌之間的最大靜摩擦力？（2）列車採用機車倒退的方式啟動後做勻速直線運動的'速度？（最終結果可以用根式表示）
解：（1）設每節車廂所受最大靜摩擦力為fm，機車的牽引為為F 直接啟動時，有 F=（49+1）fm （1） 當採用倒退方式啟動時，有 F=（59+1）μmg （2） 由①、②兩式可得：fm=1.2μmg （3） （2）設第一節車廂被拉動前，機車的速度為V1，被拉動後，機車的速度為V1′ 由動能定理有 （4） 由動量守恆定律有 （5） 由 ④、⑤得 （6） 設第二節車廂被拉動前，機車的速度為V2，被拉動後，機車的速度為V2′， 由動能定理有 （7） 由動量守恆定律有 （8） 由 ⑦、⑧得 （9） 同理可得 （10） 由數學歸納法有 （11） ∴ （12） 即，列車採用倒退的方式啟動後做勻速直線運動的速度為 ： 本題由於題幹設計新穎，又是緊密聯絡現實生活，特別是對機車倒退式啟動過程的具體分析是本題的一大難點，既反映了物理知識在生活中的應用，同時，也充分體現了利用數學知識解答物理問題的重要性，對學生的能力考查是一道很好的應用題。