有個很著名的“道旁苦李”的故事：從前有個名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友發現路邊的一棵樹上結滿了李子，小朋友一哄而上，去摘，嚐了之後才知是苦的，獨有王戎沒動，王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結滿了李子，所以李子一定是苦的。”這個故事中王戎用了一種特殊的方法，從反面論述了李子為什麼不甜，不好吃。這種間接的證法就是我們下面所要討論的反證法。
二. 反證法的定義、邏輯依據、種類及模式
定義：反證法是從反面的角度思考問題的證明方法，屬於“間接證明”的一類，即肯定題設而否定結論，從而匯出矛盾，推理而得。
種類：運用反證法的關鍵在於歸謬，因此反證法又稱為歸謬法。根據結論B的反面情況不同，分為簡單歸謬法和窮舉歸謬法。
模式：設待證的命題為“若A則B”，其中A是題設，B是結論，A、B本身也都是數學判斷，那麼用反證法證明命題一般有三個步驟：
反設：作出與求證結論相反的假設；
歸謬：將反設作為條件，並由此通過一系列的正確推理匯出矛盾；
結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。
三. 反證法的適用範圍
1.否定性命題
即結論以“沒有……”“不是……”“不能……”等形式出現的命題，直接證法一般不易入手，而反證法有希望成功。
例 求證：在一個三角形中，不能有兩個角是鈍角。已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三個內角。求證：∠A，∠B，∠C中不能有兩個鈍角。
證明：假如∠A，∠B，∠C中有兩個鈍角，不妨設∠A＞900,且∠B＞900，則∠A+∠B+∠C＞1800。這與“三角形內角和為1800”這一定理相矛盾。 故 ∠A，∠B均大於900不成立。所以，一個三角形不可能有兩個鈍角。
2.限定式命題
即結論中含有“至多”、“至少”、“不多於”或“最多”等詞語的命題。
例 在半徑為 的圓中，有半徑等於1的九個圓，證明：至少有兩個小圓的公共部分的面積不小於 。
證明：每個小圓的公共部分的面積都小於 ，而九個小圓共有 個公共部分，九個小圓的公共部分面積要小於 ，又大圓面積為 ，則九個小圓應占面積要大於 ，這是不可能的，故至少有兩個小圓的公共部分面積不少於 。
例 已知方程 ， ， 中至少有一個方程有實數值，求實數 的取值範圍。
分析：此題直接分情況用判別式求解就特別麻煩，可用反證法，假設三個方程都無實數根，然後求滿足條件 的集合的補集即可。
證明：假設三個方程都無實根，則有：
解得
例 已知m，n，p都是正整數，求證：在三個數中，至多有一個數不小於1．
證 假設a，b，c中至少有兩個數不小於1，不妨設a≥1，b≥1，則m≥n+p，n≥p+m．
兩式相加，得2p≤0，從而p≤0，與p是正整數矛盾．
所以命題成立．
說明 “不妨設”是為了簡化敘述，表示若有b≥1，c≥1和a≥1等其他各種情況時，證明過程是同樣的．
∴所求 的'範圍為 .
3.無窮性命題
即涉及各種“無限”結論的命題。
例 求證： 是無理數。
分析：由於題目給我們可供便用的條件實在太少，以至於正面向前進一小步都非常困難。而無理數又是無限不迴圈的，“無限”與“不迴圈”都很難表示出來。當反設 是有理數時，就增加了一個具體而有效的“條件”，使得能方便地將 表示為一個分數。
證明：假設 是有理數，則存在 互質，使 ，從而， 為偶數，記為 ，∴ ，∴ ，則 也是偶數。由 , 均為偶數與 、 互質矛盾，故 是無理數。
例 求證：素數有無窮多個。
證明：假設素數只有n個： P1、P2……Pn，取整數N=P1?P2……Pn+1，顯然N不能被這幾個數中的任何一個整除。因此，或者N本身就是素數（顯然N不等於“P1、P2、……Pn中任何一個），或者N含有除這n個素數以外的素數r，這些都與素數只有n個的假定相矛盾，故素數個數不可能是有限的，即為無限的。
四. 運用反證法應注意的問題