“斜率”的物理意義與解題應用
物理與數學的關係極為密切，物理狀態、物理過程及物理量之間的關係可以用影象來表示，這是研究、處理物理問題和學好物理的重要方法和手段。尤其是圖象中的斜率問題，斜率問題有兩種型別：圖象的斜率表示某一物理量的變化率，圖象的斜率表示某一物理常量。
一、“斜率”表示某一物理量的變化率
1 “斜率”表示的物理量隨時間的變化率
位移-時間圖表中的斜率表示速度；速度—時間圖象中斜率表示加速度；動量—時間影象中斜率表示合外力；磁通量—時間圖象中斜率表示感應電動勢等等。
例1 如圖1為某一運動物體的速度—時間圖象，其初速度為，末速度
為，加速度為，則下列說法正確的是（ ）
A 物體做曲線運動 B ，a逐漸減小
C ，a逐漸增大 D ，a逐漸減小
解析 ⑴因在“速度——時間”圖象上，只能表示出在同一直線上的“正”、“負”兩個方向，所以在“速度——時間”圖象只能描述物體做直線運動的情況；
⑵如果物體做勻變速運動，表示運動物體速度的直線與時間軸的夾角的正切表示物體的加速度。據此我們可以外延一下：如果物體不做勻變速運動，表示物體的運動的圖線的.圖線為一曲線，曲線上每一點的切線與時間軸的夾角為該點的瞬時加速度，由圖象上可以看出，圖象上每點切線與時間t軸的夾角θ的正切，即每點的斜率逐漸的減小，所以物體做加速度逐漸的減小運動；
⑶用直線連線表示物體A速度的曲線1的兩個端點，連線的直線2表示物體做勻加速直線運動，則由所學知識知道，連線2下面的陰影部分的“面積”s1為勻加速運動的位移，而表示物體A速度的曲線1下方的“面積”s1+s2則表示物體A的位移，因，，故答案選B。
例2 甲、乙兩物體分別在恆力F1、F2的作用下，沿同一直線運動，它們的動量隨時間的關係如圖2所示，設甲在t1時間內所受衝量為I1，乙在t2時間內所受的衝量為I2，則F、I的大小關係是（ ）
A F1>F2 I1=I2 B F1<F2 I1<I2 C F1>F2 I1>I2 D F1=F2 I1=I2
解析 由動量定理F△t=△P得F=，所以在P－t圖象中，
表示動量的圖線與時間軸夾角的正切，即等於合力F，因θ>β，
所以tanθ>tanβ，即F1>F2；從圖象可以看出，∆P甲=∆P乙，動量變
化量大小相等，由動量定理∆P=I得衝量I1=I2，故答案選A。
例3 單匝矩行線圈在勻強磁場中勻速轉動，轉軸垂直線圈中（ ）
⑴0時刻感應電動勢最大
⑵0.05s時感應電動勢為零
⑶0.05s時感應電動勢最大
⑷0.05s時最大時間內平均感應電動勢為0.4V
A ⑴⑵ B ⑴⑶ C ⑴⑶⑷ D ⑴⑵⑷
解析 由法拉第電磁感應定律，在－t圖象表示磁通量的
圖線上每點的切線的斜率等於，
0時刻和0.1s時斜率絕對值電動勢值最大，0.05s時刻斜率為零，故應選D。
2 “斜率”表示的物理量隨空間的變化率
例４ 如圖4所示，有一垂直紙面向裡的非勻強磁場，其感應強度沿y方向
不變，而沿x方向均勻減小，減小率為，一個邊長為10cm長方形鋁框，總電阻0.25Ω，鋁框平面與磁場方向垂直。在外力作用下，以20m/s的速度沿X正方向做勻速直線運動，求鋁框中感應電流大小。
解析 題意中“減小率為0.05T/m”是指磁感應強度B沿+X方向的變化率，即T/m。設某時刻線框左、右兩邊所處的磁感應強度分別為B1、B2，則該時刻兩邊產生的電動勢分別為E1=B1Lv，E2=B2Lv合電動勢辦E=E1-E2=(B1-B2)Lv=為沿X方向上距L
的兩點磁感應強度的變化量，大小為
。
所以，鋁框中感應電流大小為
。
二、“斜率”表示某一物理常量
1 利用“U—I圖象斜率分析電阻值R
例５ 一白熾燈泡“220V，60W”，加上電壓由零祝漸變到220V。在此過程中電壓U和電流I的關係可用圖象表示，圖５中的四個圖象中，肯定不符合實驗事實的是（ ）
解析 U-I圖象中任一點(I,U)的斜率就是該狀態下的電阻值。電流越大,溫度越高,電阻率越大,因此電阻值越大,斜率也應越大。A中斜率不變,C中斜率減小,D中斜率先變大後減小,均不符合實驗事實,答案應為B。
2 利用“T2—L”圖象斜率求重力加速度g
某同學在做“用單擺測定重力加速度”的實驗中，測出了
在不同擺長L時的週期T,並以T2為縱座標，以L為橫座標，描
點連線畫出如圖6所示的圖象，試由圖線求重力加速度值。
解析 由單擺週期公式得L，所以
在T2—L圖象中，斜率值等於，即，解得g=9.96m/s2。
3 利用“U-I”圖象斜率求電源內電阻r
由閉合電路歐姆定律E=U+Ir得外電壓U隨電
流I的變化關係U=-Ir+E ，如圖7，當斷路時，
路端電E壓等於電源電動勢E；當短路時，
，則圖線斜率k=tan，所以圖線斜
率的絕對值等於電源的內電阻r。
練習 在”測定電池的電動勢和內電阻”實驗中,測出資料做出電池A、B的U-I圖象，
如圖8所示，從圖中可以看出，電池A內電阻rA=______Ω，電池B的電動勢EB=_______V，若將某電阻器分別接在電池A和電池B的兩極之間時，電阻器消耗的電動勢相等，則此電阻器的阻值為____Ω。（答案：1.25Ω；1.5V；1.25Ω）
4 利用“a—F”圖象斜率求物體質量m
例6 如圖9所示，兩物體A、B都靜止在同一水平
面上，它們的質量分別mA、mB，與水平面間的動摩擦因
數分別為、。現用平行於水平面拉力F拉A、B，
所得兩物體加速度a與F關係圖象分別如圖10所示，則正確的是（ ）
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
A ⑴⑵ B ⑴⑷ C ⑴⑶ D ⑵⑶
解析 由牛頓第二定律得，即，
所以圖象斜率表示質量的倒數，。圖線在縱軸上的截距
表示，所以，故應選C。
5 “EK—υ”圖象斜率表示普朗克常數h
例9 用不同頻率的光子分別照射鎢和鋅，發生光電效應，跟據實驗可畫出電子的最大初動能隨入射光頻率υ變化的圖線，已知鎢的逸出功是3.28eV ，鋅的逸出功是3.34eV,若將二者的圖線畫在同一個座標系中，則正確的是圖11中的（ ）
解析 由愛因斯坦的光電效應方程知，圖象中圖線的斜率表示普朗克常數h，因h大小恆定，因此圖象中的圖線應相互平行。圖線在縱軸上的截距大小表示金屬的逸出功，所以答案A正確。
另外，關於利用圖象斜率求物理量的問題還有很多，如利用F—x圖象斜率求彈簧的勁度系k；利用
F—q圖象斜率求某點場強E；利用Q—U圖象斜率求電容器的電容量；利用斜率求介質的折射率n等等，這裡不一一再述。
總之，圖象的斜率是分析、處理物理問題的一種重要工具。利用它可使複雜的物理問題簡單化、清晰化，使解題起到事半功倍的效果。要學好物理，就應正確理解斜率在物理問題中的含義並掌握其應用。