不定積分
1、原函式存在定理
●定理如果函式f(x)在區間I上連續,那麼在區間I上存在可導函式F(x),使對任一x∈I都有F’(x)=f(x);簡單的說連續函式一定有原函式。
●分部積分法
如果被積函式是冪函式和正餘弦或冪函式和指數函式的乘積,就可以考慮用分部積分法,並設冪函式和指數函式為u,這樣用一次分部積分法就可以使冪函式的冪降低一次。如果被積函式是冪函式和對數函式或冪函式和反三角函式的.乘積,就可設對數和反三角函式為u。
2、對於初等函式來說,在其定義區間上,它的原函式一定存在,但原函式不一定都是初等函式。
定積分
1、定積分解決的典型問題
(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線運動的路程
2、函式可積的充分條件
●定理設f(x)在區間[a,b]上連續,則f(x)在區間[a,b]上可積,即連續=>可積。
●定理設f(x)在區間[a,b]上有界,且只有有限個間斷點,則f(x)在區間[a,b]上可積。
3、定積分的若干重要性質
●性質如果在區間[a,b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0。
●推論如果在區間[a,b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
●推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。
●性質設M及m分別是函式f(x)在區間[a,b]上的最大值和最小值,則m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),該性質說明由被積函式在積分割槽間上的最大值及最小值可以估計積分值的大致範圍。
●性質(定積分中值定理)如果函式f(x)在區間[a,b]上連續,則在積分割槽間[a,b]上至少存在一個點ξ,使下式成立:∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。
4、關於廣義積分
設函式f(x)在區間[a,b]上除點c(a<c<b)外連續,而在點c的鄰域內無界,如果兩個廣義積分∫acf(x)dx與∫cbf(x)dx都收斂,則定義∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx,否則(只要其中一個發散)就稱廣義積分∫abf(x)dx發散。
定積分的應用
1、求平面圖形的面積(曲線圍成的面積)
●直角座標系下(含引數與不含引數)
●極座標系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面積公式S=R2θ/2)
●旋轉體體積(由連續曲線、直線及座標軸所圍成的面積繞座標軸旋轉而成)(且體積V=∫abπ[f(x)]2dx,其中f(x)指曲線的方程)
●平行截面面積為已知的立體體積(V=∫abA(x)dx,其中A(x)為截面面積)
●功、水壓力、引力
●函式的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)