“尚未成功”的突破

　　坦率說，在我個人的解題經歷中，“尚未成功”乃至失敗，實在是比激動人心的成功多得多．但是，“尚未成功”並非只給筆者留下消極的結果，而面對偶爾的順利筆者也總是要繼續尋找當中的“解題愚蠢”（見文［1］、［2］），我不知道這些說來見笑的個人體驗是否對廣大讀者有點幫助，但我能肯定地說，這是我本來就少得可憐的解題財富中的主要資產，並且我的看法（包括本刊1998年開始的解題分析連載以及《解題學引論》一書）已引起了一部分同行的關注與共鳴，需要致歉的是，二三年來，關於解題與解題分析的大批讀者來信我不能一一作復，今天的話題很大程度上是一種有意的彌補．下面，筆者要進行3個解題個案的分析，以展示如何由失敗走向成功，又如何對淺層的成功進行深層的調控．
　　1．個案1—由失敗中獲取有用的資訊
　　例1　若ａ、ｂ、ｃ為互不相等的實數，且ｘ／（ａ－ｂ）＝ｙ／（ｂ－ｃ）＝ｚ／（ｃ－ａ），求ｘ＋ｙ＋ｚ．
　　解：由等比定理得 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

　　但是，②式的分母為零

　　我們的解題努力失敗了．
　　評析：這是一個失敗的解題案例，文［3］談到了調整解題方向後的一些處理，其實都用到③式．所以，失敗的過程恰好顯化了題目的一個隱含條件，這是一個積極的收穫，當我們將不成功的②式去掉，把目光同時注視①式與③式時，①式使我們看到了兩條直線重合：

　　而③式又使我們看到了直線⑤通過點

?　作一步推理，直線④也通過點（1，1），於是

　　與文［3］相比，這是一個不無新意的解法，其誕生有賴於兩點：
　　第1，從失敗的解題中獲取一條有用的資訊，即③式．
　　第2，對①式、③式都作“著眼點的轉移”，從解析幾何的角度去看它們．
　　有了這兩步，剩下來的工作充其量在30秒以內就可以完成．
　　2．個案2—尚未成功不等於失敗
　　設ｆ（ｎ）為關於ｎ的正項遞增數列，Ｍ為大於ｆ（1）的正常數，當用數學歸納法來證不等式

時，其第2步會出現這樣的情況：假設ｆ（ｋ）＜Ｍ，則

無法推出ｆ（ｋ＋1）＜Ｍ．
　　據此，許多人建議，用加強命題的辦法來處理，還有人得出這樣的命題（見文［4］Ｐ．32及文［5］Ｐ．12）：
　　命題　設｛ｆ（ｎ）｝為關於ｎ的正項遞增數列，Ｍ為正常數，則不等式ｆ（ｎ）＜Ｍ（ｎ∈Ｎ）不能直接用數學歸納法證明．
　　評析：不等式①沒能用遞推式②證出來，有兩種可能，其一是數學歸納法的功力不足，其二是數學歸納法的使用不當．把“不會用”當作“不能用”，其損失是無法彌補的．
　　我們分析上述處理的“尚未成功”，關鍵在於遞推式②，這促使我們思考：ｆ（ｋ＋1）與ｆ（ｋ）之間難道只有一種遞推關係嗎？
　　確實，有的函式式其ｆ（ｋ＋1）與ｆ（ｋ）之間的關係很複雜，無法用數學歸納法來直接證明；而有的關係則較簡單，僅用加減乘除就可以表達出來．但無論是“很複雜”還是“較簡單”，其表示式都未必惟一，文［6］Ｐ．278給出過一個反例，說明上述“命題”不真：
　　例2　用數學歸納法證明

　　講解：當ｎ＝1時，命題顯然成立．
　　現假設ｆ（ｋ）＜2，則
　　ｆ（ｋ＋1）＝ｆ（ｋ）＋（1／2ｋ）＜2＋（1／2ｋ），
由於2＋（1／2ｋ）恆大於2，所以數學歸納法證題尚未成功．
　　然而，這僅是“方法使用不當”．換一種遞推方式，證明並不困難．
　　ｆ（ｋ＋1）＝1＋（1／2）ｆ（ｋ）＜1＋（1／2）×2＝2．
　　下面一個反例直接取自文［4］的例2．
　　例3　求證（1／1！）＋（1／2！）＋（1／3！）＋…＋（1／ｎ！）＜2．
　　證明：當ｎ＝1時，命題顯然成立．
　　假設ｎ＝ｋ時命題成立，則
　　（1／1！）＋（1／2！）＋…＋（1／ｋ！）＋［1／（ｋ＋1）！］
　＝1＋（1／2）＋（1／3）·（1／2！）＋…＋（1／ｋ）·［1／（ｋ－1）！］＋［1／（ｋ＋1）］·（1／ｋ！）＜1＋（1／2）｛1＋（1／2！）＋…＋［1／（ｋ－1）！］＋（1／ｋ！）｝＜1＋（1／2）×2＝2．
　　這表明ｎ＝ｋ＋1時命題成立．
　　由數學歸納法知，不等式已獲證．
　　3．個案3—對尚未成功的環節繼續反思
　　文［7］有很好的立意也有很好的標題，叫做“反思通解·引出簡解·創造巧解”，它贊成反思“失敗”並顯示了下面一道二次函式題目的調控過程：
　　例4　二次函式ｆ（ｘ）＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ的圖象經過點（－1，0），是否存在常數ａ、ｂ、ｃ使不等式

對一切實數ｘ都成立？若存在，求出ａ、ｂ、ｃ；若不存在，說明理由．
　　講解：作者從解兩個二次不等式

開始（解法1），經過數形結合的思考（解法2）等過程，最後“經學生相互討論後得到巧解”（解法4）：由基本不等式

對一切實數ｘ都成立，猜想

　　經，ｆ（ｘ）滿足條件ｆ（－1）＝0，所以ｆ（ｘ）存在，ａ＝（1／4），ｂ＝（1／2），ｃ＝（1／4）．
　　我們不知道命題人的原始意圖是否只考慮“存在性”，按慣例，“若存在，求出ａ、ｂ、ｃ”應該理解為“若存在，求出一切ａ、ｂ、ｃ”．從這一意義上來看上述巧解，那就存在一個明顯的疑點：誠然，③式是滿足①的一個解，但是在ｘ與（ｘ2＋1）／2之間的二次函式很多，如
　　ｆ1（ｘ）＝（1／2）ｘ＋（1／2）（ｘ2＋1）／2，
　　ｆ2（ｘ）＝（1／3）ｘ＋（2／3）（ｘ2＋1）／2，
　　ｆ3（ｘ）＝（1／4）ｘ＋（3／4）（ｘ2＋1）／2，
　　……
　　這當中有的`經過點（－1，0），有的不經過點（－1，0），巧解已經驗證了ｆ1（ｘ）經過點（－1，0）從而為所求，我們的疑問是：怎見得其餘的無窮個二次函式就都不過點（－1，0）呢？
　　也就是說，“巧解”解決了“充分性”而未解決“必要性”，解決了“存在性”而未解決“惟一性”．究其原因，是未找出ｘ與（ｘ2＋1／2）之間的所有的二次函式．抓住這一尚未成功的環節繼續思考，我們想到定比分點公式，①式可以改寫為

或　ｆ（ｘ）＝λ（ｘ2＋1）／2＋（1－λ）ｘ（0＜λ＜1）．　⑤
一般情況下λ應是ｘ的正值函式（文［8］預設λ為常數是不完善的；同樣，2000年大學聯考理科第20題（2），對ｃｎ＝ａｎ＋ｂｎ設

是錯誤的），但由於ｆ（ｘ）為二次函式，λ只能為常數．為了在④中求出λ，把ｆ（－1）＝0代入④即可求出λ＝1（或⑤中λ＝1／2）．
　　②式與④式的不同，反映了特殊與一般之間的區別，反映了“驗證”與“論證”之間的區別．其實，原［解法1］出來之後，立即就可以得出②式，與是否應用“基本不等式”無關．同樣，原［解法1］中作者思考過的“推理是否嚴密”在“巧解”中依然是個問題．這種種情況說明，我們不僅要對解題活動進行反思，而且要對“反思”進行再反思．下面一個解法請讀者思考錯在哪裡？
　　解：已知條件等價於存在ｋ＜0，使
　　［ｆ（ｘ）－ｘ］［ｆ（ｘ）－（ｘ2＋1）／2］＝ｋ≤0，
　　把ｘ＝－1時，ｆ（ｘ）＝0代入得　ｋ＝－1，
　　從而　［ｆ（ｘ）－ｘ］［ｆ（ｘ）－（ｘ2＋1）／2］＝－1，
　　即　　ｆ2（ｘ）－［（ｘ＋1）2／2］ｆ（ｘ）＋（ｘ3＋ｘ＋2）／2＝0．
　　由此解出的ｆ（ｘ）為無理函式，不是二次函式，所以本題無解．
　　作為對反思進行再反思的又一新例證，我們指出文［9］例2（即1997年大學聯考難題）第1問，可以取λ＝ａ（ｘ2－ｘ）∈（0，1）（λ是ｘ的函式），則
　　ｆ（ｘ）＝ａ（ｘ1－ｘ）（ｘ2－ｘ）＋ｘ
　　　　　　＝λｘ1＋（1－λ）ｘ，
　　據定比分點的性質有ｘ＜ｆ（ｘ）＜ｘ1．