【摘 要】在科學和工程計算中，許多問題往往歸結為三對角線性方程組的求解，其並行演算法的研究具有重要意義。文章全面總結了當前求解三對角線性方程組的兩類並行演算法：直接解法和迭代解法，並介紹了其特點。
【關鍵詞】三對角線性方程組；分治策略；並行演算法；演算法可擴充套件性
一、概述
三對角線性方程組的求解是許多科學和工程計算中最重要也是最基本的問題之一。在核物理、流體力學、油藏工程、石油地震資料處理及數值天氣預報等許多領域的大規模科學工程和數值處理中都會遇到三對角系統的求解問題。很多三對角線性方程組的演算法可以直接推廣到求解塊三對角及帶狀線性方程組。由於在理論和實際應用上的重要性，近20年來三對角方程組的並行演算法研究十分活躍。
大規模科學計算需要高效能的平行計算機。隨著軟硬體技術的發展，高效能的平行計算機日新月異。現今，SMP可構成每秒幾十億次運算的系統，PVP和COW可構成每秒幾百億次運算的系統，而MPP和DSM可構成每秒萬億次運算或更高的系統。
高效能平行計算機只是給大型科學計算提供了計算工具。如何發揮平行計算機的潛在效能和對三對角系統進行有效求解，其關鍵在於抓住平行計算的特點進行並行演算法的研究和程式的設計與實現。另外，對處理機個數較多的平行計算系統，在設計並行演算法時必須解決演算法的可擴充套件性，並對可擴充套件性進行研究和分析。
二、問題的提出
設三對角線性方程組為
AX=Y （1）
式中：A∈Rn×n非奇異，αij=0， 。X=(x1，x2，…xn)T Y=(y1，y2，…yn）T。
此係統在許多演算法中被提出，因此研究其高效能並行演算法是很有理論和實際意義的。
三、並行求解三對角系統的直接解法
關於三對角線性方程組的直接求解已經有大量並行演算法，其中Wang的分裂法是最早針對實際硬體環境，基於分治策略提出的並行演算法。它不僅通訊結構簡單，容易推廣到一般帶狀線性方程組的並行求解，而且為相繼出現的許多其它並行演算法提供了可行的區域性分解策略。
近20年來求解三對角方程組的並行演算法都是基於分治策略，即通過將三對角方程組分解成P個小規模問題，求解這P個小規模問題，再將這些解結合起來得到原三對角方程組的解。一般求解三對角方程組的分治方法的計算過程可分為3個階段：一是消去，每臺處理機對子系統消元；二是求解縮減系統（需要通訊）；三是回代，將縮減系統的解回代到每個子系統，求出最終結果。具體可分為以下幾類：
（一）遞推耦合演算法（Recursive Doubling）
由Stone於1975年提出，演算法巧妙地把LU分解方法的時序性很強的遞推計算轉化為遞推倍增平行計算。s對此方法做了大量研究。is和igue的研究表明Stone演算法是不穩定的。
（二）迴圈約化方法（Cyclic Reduction）
迴圈約化方法由Hockey和b在1965年提出，其基本思想是每次迭代將偶數編號方程中的奇變數消去，只剩下偶變數，問題轉變成求解僅由偶變數組成的規模減半的新三對角方程組。求解該新方程組，得到所有的偶變數後，再回代求解所有的奇變數。即約化和回代過程。由於其基本的算術操作可以向量化，適合於向量機。此方法有大量學者進行研究，提出了許多改進的方法。例如，Heller針對最後幾步的短向量操作提出了不完全迴圈約化方法；ter結合IBM3090VF向量機的特點提出了局部迴圈約化法；io針對分散式系統的特點改進了迴圈約化方法；最近針對此方法又提出對三對角方程組進行更大約化步的交替迭代策略。
（三）基於矩陣乘分解演算法
將係數矩陣A分解成A=FT，方程Ax=b化為Fy=b和Tx=y兩個方程組的並行求解。這種演算法又可以分為兩類：
1.重疊分解。如Wang的分裂法及其改進演算法就屬於這一類。io在1993年對這類演算法進行了很好的總結，用本地LU、本地LUD和本地迴圈約化法求解，並在1995年提出基於矩陣乘分解的並行QR演算法。ielse和 der Vorst改變Wang演算法的消元次序，提出了通訊量減少的演算法。李曉梅等將ielse和 der Vorst演算法中的通訊模式從單向序列改為雙向並行，提出DPP演算法，是目前最好的三對角方程組分散式演算法之一。2000年駱志剛等中依據DPP演算法，利用計算與通訊重疊技術，減少處理機空閒時間取得了更好的並行效果。此類演算法要求解P-1階縮減系統。
2.不重疊分解。例如Lawrie & Sameh演算法、Johsoon演算法、Baron演算法、Chawla在1991年提出的WZ分解演算法以及Mattor在1995年提出的演算法都屬於這一類。此類演算法要求解2P-2階縮減系統。
（四）基於矩陣和分解演算法