摘要: 首先對兩種不同型別的幅度量化雜散訊號進行了描述和時域分析，然後用離散傅立葉變換法著重對無相位舍位情況下的幅度量化雜散訊號進行了頻譜模擬，得到了一些關於其頻譜特徵和雜散水平的規律性結論，這些結論對DDS的工程應用有重要的指導作用。
關鍵詞: DDS； 雜散； 背景噪聲； DFT
An Analysis of the Background Noise of Direct Digital Synthesizers
Abstract: In this paper, two different kinds of spurious signals generated by the amplitude truncation are formulated and their waveform characters are briefly analyzed. Then, the frequency spectra of the amplitude-truncation spurious signals without the presence of phase truncation are emphatically simulated with the DFT method and some important conclusions are achieved, which are instructive to the application of DDS.
Key words: DDS； spurious signals； background noise； DFT
引言
直接數字頻率合成（DDS）是近些年迅速發展起來的一種新的頻率合成技術，它具有頻率轉換速度快、頻率解析度高、輸出相位連續、相位噪聲低、頻率穩定度高等突出優點，因而在各種通訊系統中得到了越來越廣泛的應用。但是，DDS的全數字結構也使得它有較大的輸出雜散，這一缺點限制了其進一步的應用和發展，當前，雜散分析是DDS研究的一個重點。DDS的雜散有幅度量化、相位舍位、DAC的非理想特性等三個來源。由於幅度量化雜散（也稱作背景噪聲）訊號的幅度通常遠小於由相位舍位和DAC誤差引起的雜散訊號幅度，因而一直沒有受到足夠的重視，對幅度量化雜散的分析目前尚不多見，但是，幅度量化雜散作為三大雜散之一，對其進行系統分析具有重要的理論和工程上的意義。本文對幅度量化雜散訊號分別從時域和頻域進行了分析，得到了一些對DDS的應用有實際指導作用的規律性結論。
1 幅度量化雜散訊號的時域分析
1.1 DDS的工作原理
DDS的工作原理框圖如圖1所示:
圖1：DDS的工作原理框圖
由原理框圖可知，DDS由相位累加器、只讀儲存器ROM、數模轉換器DAC及低通濾波器LPF等主要部分組成。圖中K為頻率控制字，N為相位累加器的位數，fc為時鐘頻率，M為相位累加器對ROM的定址位數，L為二進位制表示的ROM輸出的幅值位數，f0為輸出頻率。DDS的工作過程為：頻率控制字K在每一個時鐘週期與相位累加器累加一次，得到的相位值被送到ROM中對其進行查表，ROM將相位值轉換為與之對應的正弦幅度值，該數字化的幅度值序列經數模轉換和低通濾波後得到所需的輸出頻率f0 。f0由fc和K 共同決定，它們之間的關係為：
f0 = fc· K
最小頻率解析度為：
= fc
由工作原理可知，DDS的雜散訊號有三個來源：一、相位舍位。為了得到很高的頻率解析度，相位累加器的位數N通常做得很大，但由於受ROM儲存能力的限制，用來定址ROM的位數M要小於N，因而會引入相位舍位誤差。二、幅度量化。任意一個幅度值要用無限長的位元流才能精確表示，而實際中ROM的輸出位數L是個有限值，這就會產生幅度量化誤差。三、DAC的非理想特性。DAC的有限解析度、非線性特徵及轉換速率等非理想轉換特性會影響DDS輸出頻譜的純度，產生雜散分量。在DDS相位舍位雜散的分析上，國內外提出了雜散訊號模型法和波形分析法，並已得出了較為成熟的結論，而關於幅度量化雜散方面的結論目前尚嫌不足，對幅度量化雜散的分析也就顯得很有必要。
1.2幅度雜散訊號的描述與時域分析
為了便於分析，首先定義：
且要求式中的和是互質的，於是有。根據相位累加器的工作原理，該DDS可以等效成一個相位累加器位數為，頻率控制字為的DDS（為奇數）。等效後DDS的相位累加器捨去位數為B' = B－(B為實際DDS相位舍位的位數)。當 = m·（m為整數）時，B' ≤0，此時不存在相位舍位。
設時鐘週期為Tc ，當不存在相位舍位時，在t = n Tc時刻，均勻量化條件下幅度量化雜散訊號為：
存在相位舍位時，在t = n Tc時刻幅度量化雜散訊號為：
相位舍位雜散訊號為：
由上，幅度量化雜散訊號在不同情況下可歸結為和兩種型別，它們都在區間(-，)上取值，通常遠小於相位舍位雜散訊號的幅值。由（1）式和（2）式可以看出，和是兩種特性不同的雜散訊號。的特點是週期長，能量在頻域上分散；為了便於計算其週期，可把（2）式改寫為如下形式：
其中為相位舍位誤差訊號：
由（4）、（5）式可知, 的週期V = ，當為奇數時，V = （的典型值為32，48）,此時的頻譜在區間[0，fc)上有根譜線，表現為背景雜散。由於V值很大，要想精確求出每根譜線的頻譜系數需對作V點的離散傅立葉變換(DFT)，這是不現實的。分析時通常是將它看成是均勻分佈的白噪聲，用統計方法得到總信雜比為：
同相比，的週期要小得多，它對應的頻率控制字為K = m·，其週期W = = 。可見，的頻譜在區間[0，fc)上至多有根譜線（目前DDS晶片中M值的範圍為8至15），其雜散能量較集中，可以通過作W點的DFT精確求出每根譜線的頻譜系數，下面就對進行分析。
2 無相位舍位情況下幅度量化雜散訊號的DFT分析
2.1 e（n）的DFT模擬
由於的週期W相對較小，對其作W點的離散傅立葉變換，精確分析其頻譜是能夠做到的。我們通過快速傅立葉變換（FFT）對的頻譜進行了模擬，通過分析模擬結果得到如下結論：
一、e（n）的頻譜特徵
的頻譜中只含奇次諧波，不含偶次諧波。而且，其能量在頻域上呈集中分佈，能量最大的雜散頻點集中在輸出頻率f0最小的幾個奇次諧波點處，即3f0，5f0，7f0……處。另外，的總雜散能量以及能量最大的雜散頻點處的能量與X所取的具體值無關，它們是由L、I值決定的。進一步模擬還可以看出，的雜散總能量受I值的影響較小，主要由L值決定。
圖2是在L =8、I =14、X =1171的條件下得到的的模擬頻譜圖。圖中H（ω）為的頻譜函式，ω為數字頻率，它在一個頻譜週期[0，2π]上取值，fc對應的數字頻率為2π，f0對應的數字頻率為π/7。從圖中可以看出的頻譜特徵。
圖2： e（n）的模擬頻譜圖
表1給出了不同I、L值情況下的總能量對應的信雜比。可以看出，雜散總能量基本上與I無關，主要由L決定。
表1：不同I、L值情況下的總信雜比(dB)
I
L 8 10 13 15
8 50.11 49．60 49.73 49.76
10 61.95 62.00 61.89 61.90
12 73.96 73.99 73.96 74.00
二、初始相位對e（n）譜值的影響
在的表示式中，我們假設了初始相位P為零；當它不為零時，等效後的初始相位為P = P/，它可能是整數，也可能是小數。當P 是整數時，各次諧波譜線的'頻譜系數模值同P 的具體取值無關；當P 是小數時，它對各次諧波譜線的頻譜系數模值影響很小。模擬結果如表2:
表2: 初始相位不同時各次諧波譜線的頻譜系數模值(10-5)
L =12、I =10、X =111
P
f 0 0.125 0.25 0.5 77
f0 7.80 8.10 7.66 7.81 7.80
3f0 2.59 2.62 2.67 2.29 2.59
5f0 1.65 1.57 1.59 2.12 1.65
2.2 模擬結論的理論驗證
根據的表示式，並由X為奇數可以得出，在一個週期中前後兩個半週期的對應值互為相反數，即=－，也就是說，是一個奇諧序列，因奇諧序列只含奇次諧波，故的頻譜中只含f0 /，3f0 /，5f0 /…（－2）f0 /，f0 /，（+2）f0 /……等奇次諧波分量(f0 /是基頻)。
另外，等效後的DDS在一個週期中的個相位取樣值只能是的整數倍，即僅在，2·，3·……·中取值，且每個值只能被取一次，只是當X值不同時，取值的順序有所不同；相應地，在一個週期內的個取值也是確定的，X只決定取值順序，因而，X值的變化不影響的總能量，它是由I和L決定的。還可以進一步證明，在I和L確定的情況下，當X不同時，頻譜中一個週期內的根譜線是一一對應相同的，只是譜線的分佈有所不同。
至於等效後的初始相位P 對頻譜的影響，根據上面分析，當P 是整數時，一個週期中的個相位取樣值仍只能是的整數倍，而且在I、L和X的值都確定的情況下，在一個週期內的個取值以及值的排列順序也都是確定的，只是當P 的值不同時，序列的起始值是不同的，這種起始值的不同相當於訊號在時域上的平移，根據時頻對應關係，時域平移不影響頻譜系數的模值。當P 是小數時，一個週期中的個相位取樣值不再是的整數倍，而是隨P 值變化的，相應地，的頻譜也會隨P 的變化而有所不同。
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