凸函式就是一個定義在某個向量空間的凸子集C(區間)上的實值函式，是數學函式的一類特徵。在數學的領域有一定的研究意義。
題 目： 凸函式的性質與應用
一、 文獻綜述
凸函式是一類重要的函式，它的概念最早見於Jensen[1905]著述中。它在純粹數學和應用數學的眾多領域中具有廣泛的應用，現已成為數學規劃、對策論、數理經濟學、變分學和最優控制等學科的理論基礎和有力工具。為了理論上的突破，加強它們在實踐中的應用，產生了廣義凸函式。
凸函式有許多良好的性質，例如，其中一個很重要的性質就是：在凸集中，凸函式的任何區域性最小也是全域性最小 。它在數學的許多領域中都有著廣泛的應用，現已成為數學規劃、對策論、數理經濟學、變分學和最優控制等學科的理論基礎和有力工具 。
但是凸函式的侷限性也很明顯，因為在實際問題中，大量的函式都是非凸的。為了理論上的突破，加強它們在實踐中的應用，60年代中期產生了凸分析，凸函式的概念也按多種途徑進行推廣，或對於抽象空間的推廣，或對於上面提到的不等式的推廣，然後提出了廣義凸函式的概念。60年代後期，先是有Mangasarian把凸函式的概念推廣到擬凸函式(quasi-convex functions)和偽凸函式(pseudo-convex functions)。我們知道，在數學規劃的理論及演算法中，函式的凸性只是一個充分條件，而不是必要條件。如何推廣函式的凸性概念，使得在更廣泛的函式範圍內，凸函式的許多重要性質仍然得以保留，凸規則的大多數結果能推廣到非凸規則，已構成了數學規劃研究領域的當前趨勢之一，所以研究廣義凸函式的一些定義和性質就顯得十分必要了。
擬凸函式(quasi-convex functions)是一類非常重要的廣義凸函式 ，已有大量文獻對此作了研究，擬凸函式可以定義為：如果對任意 及任意的 ，有
，則稱 為 上的擬凸函式 。先是楊新民教授給出了擬凸函式、嚴格擬凸函式及強擬凸函式的性質，討論了他們之間的關係，得到了某些有意義的結論。擬凸函式的定義具有多種形式且相互之間有等價關係 。同時又有許多專家研究擬凸函式的'上半連續性和下半連續性 。偽凸函式(pseudo-convex functions)是另一類重要的廣義凸函式，其中強偽凸函式和嚴格偽
凸函式尤其被數學工作者所研究 。強偽凸函式恰好是二次函式的嚴格偽凸性的推廣，所有關於二次函式嚴格偽凸的特徵同樣也是二次函式強偽凸的特徵 。
二、 立題背景及意義
凸函式是一類重要的函式，它的概念最早見於Jensen[1905]著述中。它在純粹數學和應用數學的眾多領域中具有廣泛的應用，現已成為數學規劃、對策論、數理經濟學、變分學和最優控制等學科的理論基礎和有力工具。為了理論上的突破，加強它們在實踐中的應用，產生了廣義凸函式。本文主要是研究幾類凸函式的性質與應用。探討擬凸函式、嚴格擬凸函式及強擬凸函式的定義、性質以及這三類函式之間相互轉換的充分必要條件，也討論擬凸函式的連續性和可微性。同時也對強偽凸函式性質進行研究，得到一些有意義的結論。
凸函式是一類重要的函式，在數學的許多領域中都有著廣泛的應用，但是它的侷限性也很明顯。如何推廣函式的凸性概念，使得在更廣泛的函式範圍內，凸函式的許多重要性質仍然得以保留，所以研究廣義凸函式的一些定義和性質就顯得十分必要了。
三、 研究內容與研究方法
研究內容：一是對研究的背景和意義進行分析論述，二是對凸函式的定義及其相互關係分析論述，三是對凸函式的性質分析，四是對凸函式的應用分析。
研究的方法：主要是運用了文獻綜述的理論論述和定量分析的方法，具體步驟為：
1.查閱有關凸函式的性質與應用的書籍和文獻資料，結合教學實習瞭解中學數學教學中教師對凸函式的性質與應用及效果情況，對其過程、環節和情況做出分
析。
2.寫出開題報告，指出現今文獻中對凸函式的性質與應用的探討研究情況，分析文獻資料，並基於文獻提出有關值得探討和挖掘的問題，列出論文提
綱。
3.在論文寫作過程中注意理論與實踐相聯絡，解決提出的問題，尋求恰當切入點，進行論述，並提出自己的論點和相關的改革建議。
4.參加論文答辯
四、 預期結果(預期達到的技術效能指標及提供的成果形式)
本文研究幾類廣義凸函式的定義和性質。探討擬凸函式、嚴格擬凸函式及強擬凸函式的定義、性質以及這三類函式之間相互轉換的充分必要條件，也討論擬凸函式的連續性和可微性。同時也對強偽凸函式性質進行研究，得到一些有意義的結論。
五、 參考文獻列表
1. 劉三陽.凸函式的新發展[J].西安電子科技大學學報, 1990, 17(1)：45~48.
2. LIU Xuefei, HU Xiahong. Some Control Inequalities for Generalized Convex Function
[J]. 2005.
3. Neculai ex functions [J]. 2005.
4. 邱根勝.擬凸函式的幾個性質[J].南昌航空工業學院學報, 1998, 1998(2)：36~39.
5. 郝彥. 關於擬凸函式幾個定義的討論[J]. 浙江海洋學院學報, 2002, 21(4)：388~390.
6. 杜江.函式廣義凸的充要條件[J].江漢石油學院學報, 1994, 16(1)：107~110.
7. 劉校鬆.擬凸函式的連續性和可微性的討論[J].渝州大學學報, 1996, 13(3)：82~86.
8. 王興國. 關於半連續性與擬凸函式的註記[J]. 浙江師大學報, 1999, 22(2)：14~18.
9. 楊新民.上半連續函式的擬凸性[J].運籌學學報, 2002, 3(1)：48~51.
10. 楊澤高.一類強偽凸函式的若干性質[J].工程數學學報, 1994, 11(4)：120~124.
11. 楊益民.函式強偽凸性與對映強偽單調性[J].高等學校計算數學學報, 2002, 3(3)141~146.
12. 裘兆泰等.《數學分析學習指導》,科學出版社,2004年.
13. 徐利治等.《大學數學解題法詮釋》第一版,安徽教育出版社，1999年.
14. 徐利治等. 《數學分析的方法和例題選講》,高等教育出版社,1984年.
15. 裴禮文.《數學分析中的典型問題和方法》,高等教育出版社,1988年.
16. 張從軍.《數學分析》,安徽大學出版社，2000年.
17. 歐陽光中、姚允龍.《數學分析概要二十講》,復旦大學出版社,1999年.
18. 張築生.《數學分析新講》,北京大學出版社,1991年.
19. 華東師範大學數學系，《數學分析》第三版，高等教育出版社,2001年.
六、 指導教師審批意見
內容用四號宋
年 月 日