?從的角度看，王長沛教授的這些工作應當說有著更為重要的意義．因為，這正是數學教育研究的一個嚴重弊病，即在相當程度上只是一種純思辨的研究，而缺乏必要的論據，也正因為此，相關的研究往往就不能得到國外同行的承認或重視．從而，在這樣的意義上，就如張奠宙教授所指出的，王長沛教授的上述工作確實可被認為代表了我國數學教育研究在上的一次革命性突破，更值得大力提倡和推廣．
?當然，這方面的工作又只是剛剛開始，要真正搞好“案例”，應當說還有很多工作要做．以下就從這樣的角度，特別是圍繞如何通過案例分析促進實際的教學工作提出一些初步的意見．
?第一，“案例分析”當然以案例的收集作為實際出發點．但是，除去“以生動活潑的形式呈現學生做數學的真實過程”以外，筆者以為，我們又應在案例的分析上花更大的力氣．因為，如果忽視了後一環節，那麼，即使人們可以由所製作的錄影獲得一定的啟示，諸如“難道我們的學生具有如此巨大的潛能？”“難道我們的學生連這些簡單的數學都不懂？”等等；但這主要地仍只是一種即時的、素樸的反應，更是與教師的實際教學活動相分離的．從而，即使我們積累起了眾多的案例，但最終卻很可能獲得這樣的結果：現場的演示引起了強烈的反映，人們紛紛做出各種各樣的評論，但是，由於缺乏必要的引導與深化，這些反映就始終是分散和零亂的，這樣，對相當一部分人來說，最後就很可能沒有從中得到任何真正的啟示或教益，另外一些人在當時可能領悟到了某些東西，但由於未能得到及時的強化，更由於所說的案例又“聚集在學生做數學上”，因此，這些認識也就往往不能在頭腦中真正得到確立，更未能對改進實際教學產生持久、穩定的積極效果．
?作為一個反例，筆者在此並願提及以下的事實：在對美國進行學術訪問期間，我曾參加過一個數學教育博士研究生的論文答辯會．當被問及其所做的工作時，這位研究生展示了她所製作的近百盤（關於學生學習活動的）錄影帶，並說：“這就是我的工作．”這些錄影帶的製作當然不是一件很容易的工作，但是，人們還是要問：“所有這些錄影帶又究竟說明了什麼呢？”顯然，如果我們不能對後者做出明確的說明，那麼，單純的數量積累就是毫無意義的！
?綜上所述，相對於案例的收集而言，我們就應更加註意對於案例的深入分析，特別是，就案例在教師培養活動中的而言，我們不能消極地期待教師會由觀看錄影等而在教學觀念上發生迅速的轉變，而應發揮積極的引導作用，以使之由一種自發的行為轉變成為自覺的行為．
?第二，從根本上說，我們之所以要深入地去了解學生在數學學習活動中真實的思維活動，無疑是為了更好地去進行教學．也正因為此，筆者以為，我們關於學生學習活動的案例分析，主要地也就應當集中於如下的：這對於我們改進教學有什麼啟示？
?為了清楚地說明問題，可以聯絡王長沛教授在上海所演示的以下案例進行分析．
?三個國小生被要求解決如下的問題（憑記憶複述，因此不很準確）：
?一個抽屜中放有80個紅色的小球，70個白色的小球，60個黑色的小球，50個蘭色的小球．小球的外形完全相同．一個小孩在看不見的情況下從抽屜中隨意取出一些小球，問他至少要從中取出多少個才能保證其中一定有10對顏色相同的小球．
?儘管這一問題有一定的難度，但是，這三個學生通過積極探索，包括相互合作，最終成功地解決了這一問題．從而，這就清楚地表明瞭學生中的確存在有巨大的潛能．
?但是，從教學的角度看，我們在此又可引出什麼樣的結論呢？特別是，在充分承認學生具有創造性才能的同時，教師在此又應發揮什麼樣的作用呢？
?具體地說，筆者以為，在上述的解題過程中教師應當發揮積極的啟發或引導作用，包括在學生遇到困難時通過給予適當的啟示以幫助學生克服困難，以及在學生成功地解決了問題以後幫助學生做出必要的，從而使之從不自覺的行為上升為自覺的行為，特別是在思維方法上更能有所收穫．
?例如，上述的求解事實上包括了兩個關鍵點：一是以5作為考慮的基本單位，二是應當考慮每次配對後的餘數——只需要把這兩者很好地結合起來，我們就可成功地解決上述問題．
?由錄影可以看出，這三個學生事實上就是依據這樣的解決問題的．但是，在此要強調的是，儘管學生通過主動探索成功地解決了這一問題，但這並不意味著他們對其中的關鍵點已經有了清楚的認識，因此，這就應當被看成教師的一項重要工作，即是在所說的情況下應當幫助學生對解題過程做出認真的，以清楚地認識其中的關鍵點，從而也就可能在新的不同場合加以推廣．
?當然，後者並非是指教師在此應當直接去點明所說的關鍵點；與此相反，筆者以為，更為恰當的做法是，教師可以對原來的問題做出適當的變形，藉以啟發學生建立起自覺的認識．例如，如果我們將問題變化為抽屜中放有五種或六種（而不是四種）顏色的小球，就可幫助學生清楚地認識第一個關鍵點，也即實現由不自覺行為的重要轉變．
?另外，與所演示的情況不同，如果教師所遇到的是這樣的情況：儘管學生進行了積極的探索，但卻始終未能解決問題．這時教師可提出這樣的問題：我們能否首先解決較為容易的問題？即如至少要從中取出多少個才能保證其中一定有一對（而不是十對）顏色相同的'小球？又至少要從中取出多少個才能保證其中一定有二對顏色相同的小球？事實上，在所演示的錄影中，那三個學生也正是通過特殊化而發現了上述的兩個關鍵點．從而，這也就清楚地表明瞭這樣一點，無論在哪種情況下，在問題最終得到解決以後，我們又應幫助學生在思維方法上做出總結，即如加深對於“特殊化”這一方法的認識．
?值得提及的是，王長沛教授在會上並曾提到以下的事實，即他的合作者曾要求高中學生求解同一個問題，而所得到的結果則是“完全出乎預料的”，即高中學生的實際表現並不明顯優於國小生．在筆者看來，這事實上也就清楚地表明瞭思維方法的重要性，這就是說，如果我們忽視了這樣一點，那麼，即使他們曾經成功地解決了成千上萬個問題，但其解決問題的能力卻並沒有得到很大的提高．
?第三，筆者以為，以上的事實上也為我們深入地開展數學提供了重要的思路，這就是說，與所提及的“純狀態”下的情況的真實記錄相對照，我們也可以教師指導下的學習作案例，並通過兩者的比較分析引出進一步的結論．
?例如，對於以上所說的兩個建議，即在學生成功地解決了問題的情況下，教師可以通過問題的適當變形啟發學生對其中的關鍵點與相應的思維方法建立自覺的認識，以及在學生遇到困難時通過方法論的啟示以幫助學生掌握解題的關鍵，我們都可作為案例進行仔細的研究．另外，我們還可通過比較研究對不同的教學方法及其後果做出深入的分析．即如什麼是教師進行干預的適當時刻和方式？這種干預又有什麼樣的實際效果，包括短期效果和長期效果？
?筆者相信，深入的研究必定會表明這樣一點：我們既應充分肯定學生的巨大潛力，同時則又應當肯定教師對學生的有著不可或缺的重要作用；另外，在積極鼓勵學生主動探索的同時，我們又應充分發揮教師的促進和指導作用．當然，後者的關鍵則又在於適當的方法和時機．
?最後，筆者以為，如果我們能使所說的“案例分析”成為教師培訓者和接受培訓的教師的共同活動，那麼，這就不僅將使教師培訓活動變得更加生動活潑，也可使教師從中獲得切實的收益．