一、數學直覺概念的界定
簡單的說，數學直覺是具有意識的人腦對數學物件(結構及其關係)的某種直接的領悟和洞察。
對於直覺作以下說明：
(1)直覺與直觀、直感的區別
直觀與直感都是以真實的事物為物件，通過各種感覺器官直接獲得的感覺或感知。例如等腰三角形的兩個底角相等，兩個角相等的三角形是等腰三角形等概念、性質的界定並沒有一個嚴格的證明，只是一種直觀形象的感知。而直覺的研究物件則是抽象的數學結構及其關係。龐加萊說："直覺不必建立在感覺明白之上．感覺不久便會變的無能為力。例如，我們仍無法想象千角形，但我們能夠通過直覺一般地思考多角形，多角形把千角形作為一個特例包括進來。"由此可見直覺是一種深層次的心理活動，沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。正如迪瓦多內所說："這些富有創造性的科學家與眾不同的地方，在於他們對研究的物件有一個活全生的構想和深刻的瞭解，這些構想和了解結合起來，就是所謂'直覺'……，因為它適用的物件，一般說來，在我們的感官世界中是看不見的。"
(2)直覺與邏輯的關係
從思維方式上來看，思維可以分為邏輯思維和直覺思維。長期以來人們刻意的把兩者分離開來，其實這是一種誤解，邏輯思維與直覺思維從來就不是割離的。有一種觀點認為邏輯重於演繹，而直觀重於分析，從側重角度來看，此話不無道理，但側重並不等於完全，數學邏輯中是否會有直覺成分?數學直覺是否具有邏輯性?比如在日常生活中有許多說不清道不明的東西，人們對各種事件作出判斷與猜想離不開直覺，甚至可以說直覺無時無刻不在起作用。數學也是對客觀世界的反映，它是人們對生活現象與世界執行的秩序直覺的體現，再以數學的形式將思考的理性過程格式化。數學最初的概念都是基於直覺，數學在一定程度上就是在問題解決中得到發展的，問題解決也離不開直覺，下面我們就以數學問題的證明為例，來考察直覺在證明過程中所起的作用。
一個數學證明可以分解為許多基本運算或許多"演繹推理元素"，一個成功的數學證明是這些基本運算或"演繹推理元素"的一個成功的組合，彷彿是一條從出發點到目的地的通道，一個個基本運算和"演繹推理元素"就是這條通道的一個個路段，當一個成功的證明擺在我們面前開始，邏輯可以幫助我們確信沿著這條路必定能順利的到達目的地，但是邏輯卻不能告訴我們，為什麼這些路徑的選取與這樣的組合可以構成一條通道。事實上，出發不久就會遇上叉路口，也就是遇上了正確選擇構成通道的路段的問題。龐加萊認為，即使能複寫出一個成功的數學證明，但不知道是什麼東西造成了證明的一致性，……，這些元素安置的順序比元素本身更加重要。笛卡爾認為在數學推理中的每一步，直覺力都是不可缺少的。就好似我們平時打籃球，要靠球感一樣，在快速運動中來不及去作邏輯判斷，動作只是下意識的，而下意識的動作正是在平時訓練產生的一種直覺。
在教育過程中，老師由於把證明過程過分的嚴格化、程式化。學生只是見到一具僵硬的邏輯外殼，直覺的光環被掩蓋住了，而把成功往往歸功於邏輯的功勞，對自己的直覺反而不覺得。學生的內在潛能沒有被激發出來，學習的興趣沒有被調動起來，得不到思維的真正樂趣。《中國青年報》曾報道，"約30％的國中生學習了平面幾何推理之後，喪失了對數學學習的興趣"，這種現象應該引起數學教育者的重視與反思。