一 數學開放題的概述
關於什麼是數學開放題，現在還沒有統一的認識，主要有如下的論述：
（１）答案不固定或者條件不完備的習題，我們稱為開放題；(2)開放性題是條 件多餘需選擇、條件不足需補充或答案不固定的題；(3)有多種正確答案的問題是開放題。這類問題給予學生以自己喜歡的方式解答問題的機會，在解題過程中，學生可以把自己的知識、技能以各種方式結合，去發現新的思想方法；(4)答案不唯一的問題是開放性的問題；(5)具有多種不同的解法，或有多種可能的解答的問題，稱之為開放性問題；(6)問題不必有解，答案不必唯一，條件可以多餘。一個問題是開放還是封閉常常取決於提出問題時學生的知識水平如何。例如，對n個人兩兩握手共握多少次的問題，在學生學習《組合》知識以前解法很多，是一個開放題，在學習組合知識之後則是一個封閉題。
二 數學開放題的特徵
數學開放題一般具有以下特徵：
1． 所提的問題常常是不確定和一般性的，其背景情況也是用一般詞語來描述的，主體必須收集其他必要的資訊，才能著手解題。
2． 沒有現成的解題模式，有些答案可能易於直覺地被發現，但是在求解過程中往往需要從多個角度進行思考和探索。
3． 有些問題的答案是不確定的，存在著多樣的解答，但重要的還不是答案本身的多樣性，而在於尋求解答過程中主體的認知結構的重建。
4． 常常通過實際問題提出，主體必須用數學語言將其數學化，也就是建立數學模型。
5． 在求解過程中往往可以引出新的問題，或將問題加以推廣，找出更一般，更有概括性的結論。
6． 能激起多數學生的好奇心，全體學生都可以參與解答過程，而不管他是屬於何種程度和水平。
7． 教師難以用注入式進行教學，學生能自然地主動參與，教師在解題過程中的地位是示範者、啟發者、鼓勵者和指導者。
三 數學開放題的分類
1、條件開放型
即未知的要素是條件。例如，在北師大版七年級（下）的概率教學中有這樣一個問題：（P108試一試）用10個球設計一種摸球遊戲，使摸到紅球的概率為0.2？我們在不增加太大難度的`情況下把它改為：例1、設計一種摸球的遊戲，使摸到紅球的概率為0.2，可以怎樣放球？這就是一個非常開放的問題，學生都可以根據自己原有的認知水平，得到不同的方案。①在袋中放入1個紅球和4個白球。②在袋子中放入球的數量只要滿足紅球與白球的數量比為1：4就可以了，比如紅球與白球的個數可以分別是5和20或6和24等等。③只要滿足紅球與非紅球的數量之比為1：4就可以了，比如1個紅球，2個黑球，1個黃球，1個白球；或2個紅球，2個黃球，6個黑球等等。這樣的問題設計有助於培養學生的創新意識，發展創新能力。
2、結論開放型
即未知的要素是判斷
例如，老師給出一個條件，兩條直線平行，甲、乙、丙同學各指出這個條件的一個特徵：
甲：被第三條直線所截，同位角相等；
乙：被第三條直線所截，內錯角相等；
丙：被第三條直線所截，同旁內角互補。
3、策略開放型
即未知的要素是推理
如：一張桌子可坐6個人，若按圖乙方式擺放，2張桌子可坐幾個人？按圖乙方式繼續擺放桌子，則n張桌子可坐幾人？
（甲） （乙）
學生可以從不同的角度思考，得到不同的策略：①一張桌子可坐6人，每增加一張桌子增加4人，幾張桌子增加4（n-1）人，因此n張桌子可坐[6+4（n-1）]人，即（4n+2）人；②桌子無論增加幾張，左右兩側始終只能坐2人，而每張桌子的上下兩側都可坐4人，故有（4n+2）人；③每張桌子可坐6人，那麼n張桌子按理可坐6n人，但要減去每兩張桌子重合的2人。列式得6n-2（n-1），等於（4n+2）人；④一張桌子的一半可坐（2+1）人，n張桌子的一半可坐（2n+1）人，因此，n張桌子可坐2（2n+1）人，即（4n+2）人。這一系列問題的設計給學生的不同見解留下了足夠的空間，學生可以在自己原有的知識結構中進行同化，多角度、多方位地去尋找解題策略。
4、設計開放型
例如，(課程標準華東師大版《數學》七年級（上）第13頁習題第5題)某居民小區搞綠化，要在一塊矩形空地上建花壇，現徵集設計方案，要求設計的圖案由圓和正方形組成（圓和正方形的個數不限），並且使花壇的面積約佔矩形面積的二分之一左右。請畫出你設計的方案，用一兩句話表示你設計的思路。
5、舉例開放型
請根據你生活經驗，對代數式2a給出一個實際背景的解釋： 。
6、實踐開放型
例如，(課程標準華東師大版《數學》七年級（下）第118頁習題第1題)現有三個普通的正方體骰子，投擲這三個骰子，請說出三個確定的事件和三個不確定的事件。