帶電粒子在複合場中運動模型例析
帶電粒子在複合場中運動，物理情景比較複雜，是每年大學聯考命題的熱點；這部分內容從本質上講是一個力學問題，應根據力學問題的研究思路和運用力學的基本規律求解。筆者對帶電粒子在複合場中運動的基本型別和解法歸納如下，供同學們學習時參考。
一：求解帶電粒子在複合場中運動的基本思路
1：對帶電粒子進行受力分析，特別注意電場力和磁場力的特點
2：分析帶電粒子在複合場中運動的圖景
3：抽象出運動模型
4：運動物理規律對帶電粒子運動進行數學描述，建立相關的幾何關係方程
5：建立方程求解並驗證
二：帶電粒子在複合場中運動的物理模型
1：勻速直線運動
題1、設在地面上方的真空中，存在的勻強電場和勻強磁場，已知電場強度和磁感應強度的方向相同，電場強度的大小E=4.0V/m，磁感應強度的大小B=0.15T，今有一個帶負電的質點以v=20m/s的速度在此區域內沿垂直於場強方向做勻速直線運動，求此帶電質點的電量與質量之比q/m以及磁場所有可能的方向（角度可以用反三角函式表示）。
【解析】（1）根據帶電粒子做勻速直線運動的條件，
可知帶電粒子所受的電場力，重力、磁場力一定在同一
豎直平面內，合力為零，如圖1所示，質點的速
度方向一定垂直於紙面向外。
由三力平衡的條件可知
設磁場力方向與重力方向的夾角為θ，將電場力和洛侖茲力方向垂直於重力方向分解，則有：qEsinθ=qvBcosθ 解得tanθ=vB/E =0.75 θ=arctan0.75
即磁場方向是沿著與重力方向夾角θ=arctan0.75，且斜向下方的一切方向。
2、勻變速直線運動
題2、質量為m，電量為+q的小球以初速度v0以與水平方向成θ角射出，如圖2所示，如果在空間加上一定大小的勻強電場和勻強磁場後，能保證小球沿v0方向做勻減速直線運動，試求所加勻強電場的最小值和勻強磁場的方向，加了這個二個場後，經多長時間速度變為零?
【解析】由題知小球在重力和電場力作用下沿v0方向做勻減速直線運動，可知垂直v0方向上合外力為零，根據力的分解得，重力與電場力的合力沿v0所在直線.，磁場方向平行於v0所在直線。
建如圖3所示座標系，設場強E與v0成φ角，則受力如圖：
由牛頓第二定律可得
Eqsinφ-mgcosθ=0 ①
Eqcosφ-mgsinθ=ma ②
由①式得：E=mgcosθ／qsinφ ③
由③式得：φ＝90°時，E最小為Emin＝mgcosθ／q
其方向與v0垂直斜向上
將φ＝90°代入②式可得a＝－gsinθ
即在場強最小時，小球沿v0做加速度為a＝－gsinθ的勻減速直線運動，設運動時間為t時速度為0，則：0＝v0－gsinθt
可得：t=
【評析】以上兩例研究帶電粒子在電場力，重力、磁場力共同作用下的直線運動；題1沒有給出圖示，需要學生自己在空間建立電場、磁場的方向以及三個共點力平衡的物理情景，對學生的知識和能力要求比較高。題2考查學生分析綜合能力及思維發散能力，部分學生挖掘隱含條件的能力不夠，不能據“保證小球仍沿v0方向做勻減速直線運動”的條件，推測重力和電場力在垂直於v0方向合力為零，磁場方向平行於v0所在直線，從而無法切入。
（三）：勻速圓周運動
題3：在如圖4所示的直角座標系中，座標原點O處固定有正點電荷，另有平行於y軸的勻強磁場.一個質量為m、帶電量+q的微粒，恰能以y軸上點為圓心作勻速圓周運動，其軌跡平面與x O z平面平行，角速度為，旋轉方向如圖中箭頭所示。試求勻強磁場的磁感應強度大小和方向？
【解析】：帶電微粒受重力、庫侖力、洛侖茲力的作用，這三個
力的合力為向心力. 如圖5所示，設圓軌跡半徑為R.，圓周上一點
和座標原點連線與y軸夾角為θ. 帶電微粒動力學方程為：
（1）
（2）
而 （3）
（4）
由各式消去和得
，方向沿y負方向。
【評析】本題考查有關勻速圓周運動的知識，要求學生：（1）明確向心力有洛侖茲力、庫侖力的水平分力的合力提供。（2）具有一定的空間想象力。
（四）、擺線運動
題4．設空間存在豎直向下的勻強電場和垂直紙面向裡的.勻強磁場,如圖5所示.已知一離子在電場力和洛侖茲力的作用下,從靜止開始自A點沿曲線ACB運動,到達B點時速度為零.C點是運動的最低點.忽略重力,以下說法中正確的是:
這離子必帶正電荷.
A點和B點位於同一高度. 圖5
C.離子在C點時速度最大.
D.離子到達B點後,將沿原曲線返回A點.
【解析】 A：因平行板間的電場方向向下，依題意離子由A點無初速度釋放後向下運動，此時離子不受洛侖茲力，僅受電場力，則電場力方向向下，所以離子必須帶正電，故A正確。
B：離子到達B點時速度為零，由動能定理知，離子從A到B的運動過程中，外力對離子做功的代數和為零，但由於洛侖茲力不做功，故離子從A到B的運動過程中電場力做功為零，因此離子在A、B兩點的電勢能相等。A、B兩點的電勢相等，即 A、B兩點應在同一個高度，故B正確。
C：由於C點是在運動的最底點，離子由A運動到C點電場力做功最多，由動能定理知，離子在C點的速度應最大，故C正確。
D：離子運動到B點時，所處的運動狀態與在A點時相同，離子達到B點後將要開始的運動也將向右偏，不可能回到A，故D錯誤。
【評析】本例關鍵在於粒子的運動過程分析，對於做變加速曲線運動的粒子，受力分析和能量分析，是研究粒子在複合場中運動問題的兩種基本方法。
（五）：直線運動和圓周運動交替運動
題5、如圖7所示，X軸上方有勻強磁場B，下方有豎直向下勻強電場E。電量為q、質量為m（重力不計），粒子靜止在y軸上。X軸上有一點N(L.0)，要使粒子在y軸上由靜止釋放而能到達N點，問：(1)粒子應帶何種電荷? 釋放點M應滿足什麼條件? (2)粒子從M點運動到N點經歷多長的時間?
【解析】：(1) 粒子由靜止釋放一定要先受電場力作用 (磁場對靜止電荷沒有作用力)，所以 M點要在-Y軸上。要進入磁場必先向上運動，靜上的電荷要向上運動必須受到向上的電場力作用，而場強 E方向是向下的，所以粒子帶負電。
(2)粒子在M點受向上電場力，從靜止出發做勻加速運動。在 O點進入勻強磁場後，只受洛侖茲力(方向沿+X軸)做勻速周圍運動，經半個週期，回到X軸上的P點，進入勻強電場，在電場力作用下做勻減速直線運動直到速度為零。然後再向上做勻加速運動，在X軸上P點進入勻強磁場，做勻速圓運動，經半個週期回到X軸上的Q點，進入勻強電場，再在電場力作用下做勻減速運動直到速度為零。此後，粒子重複上述運動直到 X軸上的N點，運動軌跡如圖8所示。
【解析】（1）設釋放點M的座標為(0.-yO)，在電場中由靜止加速，
則：qEyO= mV2 ①
在勻強磁場中粒子以速率V做勻速圓周運動， 有：qBV=mV2/R ②
設n為粒子做勻速圓周運動的次數(正整數)則：L=n2R， 所以R=L/2n ③
解①②③式得：V=qBL/2mn， 所以yO=qB2L2/8n2mE (式中n為正整數)
(2)粒子由M運動到N在電場中的加速運動和減速運動的次數為(2n-1)次，每次加速或減速的時間都相等，設為t1，則：yO= at1 2= qEt12/m
所以t1=
粒子在磁場中做勻速圓周運動的半週期為t2，共n次，t2=πm/qB
粒子從M點運動到N點共經歷的時間為：
t=(2n-1)t1+nt2=(2n-1)BL/2nE+nπm/qB (n=1、2、3……)
題6：如圖9所示，兩個共軸的圓筒形金屬電極，外電極接地，其上均勻分佈著平行於軸線的四條狹縫a、b、c和d，外筒的外半徑為r，在圓筒之外的足夠大區域中有平行於軸線方向的均勻磁場，磁感強度的大小為B。在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區域內有沿半徑向外的電場。一質量為ｍ、帶電量為＋q的粒子，從緊靠內筒且正對狹縫a的S點出發，初速為零。如果該粒子經過一段時間的運動之後恰好又回到出發點S，則兩電極之間的電壓U應是多少？（不計重力，整個裝置在真空中）
解析：如圖10所示，帶電粒子從S點出發，在兩筒之間的電場作用下加速，沿徑向穿過狹縫a而進入磁場區，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動。粒子再回到S點的條件是能沿徑向穿過狹縫d.只要穿過了d，粒子就會在電場力作用下先減速，再反向加速，經d重新進入磁場區，然後粒子以同樣方式經過c、b，再回到S點。設粒子進入磁場區的速度大小為v，根據動能定理，有
設粒子做勻速圓周運動的半徑為R，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律，
有
由前面分析可知，要回到S點，粒子從a到d必經過圓周，所以半徑R必定等於筒的外半徑r，即R=r。由以上各式解得
。
題7、平行金屬，板長1.4米，兩板相距30釐米，兩板間勻強磁場的B為1.3×10-3T，兩板間所加電壓隨時間變化關係如11圖所示。當t=0時，有一個a粒子從左側兩板中央以V=4×103米/秒的速度垂直於磁場方向射入，如12圖所示。不計a粒子的重力，求：該粒子能否穿過金屬板間區域?若不能，打在何處?若能，則需多長時間? (已知a粒子電量q=3.2×10-19庫，質量m=6.64×10-27千克)
【解析】：在t=0到t=1×10-4秒時間內，兩板間加有電壓，a粒子受到電場力和洛侖茲力分別為：F=qu/d=q×1.56/0.3=5.2q 方向豎直向下
f=qBv=q×1.3×10-3×4×103=5.2q 方向豎直向上
因此F=f，故做勻速直線運動，其位移為：△S=v△t=4×103×1×10-4=0.4米
在t=1×10-4秒到t=2×10-4秒時間內，兩板間無電場，a粒子在洛侖茲力作用下做勻速圓周運動，其軌跡半徑為：
r=mv/qB=(6.64×10-27×4×103)/(3.2×10-19×1.3×10-3)=6.37×10-2米＜d/4
所以粒子不會與金屬板相碰。面a粒子做勻速圓周運動的週期為：
T=2πm/qB=(2×3.14×6.64×10-27)/(3.2×10-19×1.3×10-3)=1.0×10-4秒
則在不加電壓的時間內，a粒子恰好能在磁場中運動一週。當兩板間又加上第2個週期和第3個週期的電壓時，a粒子將重複上述的運動。故經3/4週期飛出板外(t=6.5×10-4秒)其運動軌跡如13圖所示。
【評析】這類題說明帶電粒子的合運動是直線運動和圓周運動的結合，雖然軌跡是直線和1/2圓周、3/4圓周或整圓周結合，但本質是一樣的，都是在庫侖力、洛侖茲力的共同作用下的運動規律。體現粒子在複合場中運動的週期性、重複性、迴歸性。體現物理的和諧之美。
（六）：螺旋線運動
題8：在某一個空間中，存在勻強電場和勻強磁場，方向相同，大小分別為E、B。帶正電的粒子垂直射入電場線和磁感應線平行的複合場中，如圖14。試討論粒子的運動情況。（不考慮重力）
【解析】設粒子的質量為m，電量為q。在平行B的方向受電場力的作用，粒子做勻加速直線運動，
水平位移為：
水平速度為：v = at = F/m t 圖14
在垂直B的方向上，受磁場力的作用做勻速圓周運動，軌道半徑和週期分別為：
帶電粒子運動軌跡是沿B方向做勻加速直線運動和垂直B方向做勻速圓周運動的合運動，是不等螺距的螺旋線運動，如果電場線和磁感應線反向，粒子旋轉方向相反或加速方向相反，但運動規律相同。
【解題回顧】 帶電粒子在複合場中的運動集中融合力學、電磁學等知識，其特點是構思新穎、綜合性強，突出考查學生對物理過程和運動規律的綜合分析能力、運用數學知識解決物理問題的能力及空間想象能力.