一、數學元認知及其成分結構
元認知（meta-cognkion)作為一個科學概念由美國著名發展心理學家弗拉威爾（Havell，J.)於1976年正式提出。元認知是對認知的認知，意指以人的認知過程為物件，並對人的認知過程進行監視、控制、調節，包括元認知知識、元認知體驗、元認知監控。
數學元認知直到20世紀90年代才引起我國數學教育界的關注。初期，研究者主要根據元認知理論架構對數學元認知及其成分進行定性分析。譬如，有研究者認為，數學元認知指的是人們對數學認知活動的認識和控制，包括數學元認知知識（前提）、數學元認知體驗（基礎）、數學元認知監控（關鍵），三者的有機結合組成一個整體一數學元認知結構。較多研究者結合問題解決，分析了數學學習活動中的元認知，譬如有研究者認為：在數學解題活動中，數學元認知知識由主體性知識、客體性知識和策略性知識組成，數學元認知體驗由修正目標、改組元認知知識、啟用策略組成，數學元認知監控則包括解題方向、解題過程、認知策略的監控。
隨著研究的深入，研究者利用定量方法研究數學元認知及其結構。譬如，有研究者利用因素分析，確定了中學數學學科自我監控能力的五個因子：計劃、調節、檢驗、管理和評價。另一項研究則在此基礎上制訂了由31個測查專案構成的數學解題監控能力問卷，調查結論與上述結論基本一致，另外，有研究者對數學問題解決的元認知結構進行了探索性因素分析和驗證性分析，提出數學解題元認知結構包括“三主因素九次因素”元認知知識（個體知識、認知任務、認知策略）、元認知體驗（情感體驗、認知體驗）、元認知策略（計劃、調控、評價、反思）值得注意的是，研究者開始從動態與靜態的視角對數學元認知進行了區分。其中，靜態元認知是對認知任務、策略、體驗、體驗、調控等方面較為穩定的知識結構，動態元認知是指面對具體認知情境時，對當前活動的計劃、監控、認知策略、自己解決該問題能力的意識和評估等。
綜上所述，研究者從定性與定量兩個層面，對數學元認知及其成分結構進行了研究，觀點雖略有不同，但基本達成了以下共識：數學元認知是人們對數學認知活動的認識，實質是人們對數學認知活動的自我意識和自我調節，其結構成分包括數學元認知知識、數學元認知體驗、數學元認知調控。
二、數學元認知對數學學習的影響
教育心理學界普遍認為，元認知在整個智力活動中處於支配地位，對整個活動起控制調節作用。數學教育界持相同觀點，認為數學元認知在數學認知過程中具有重要作用，主要體現在數學問題解決、數學思維、數學學業成績三個方面。
(一)對數學問題解決的影響
數學問題解決是一個認知與元認知互動作用與影響的過程。數學元認知對數學問題解決的影響，體現在元認知知識、元認知體驗及元認知監控三個緯度。
數學元認知知識對問題解決具有統攝作用。這種統攝作用表現在：程式性知識具有控制性，情境性知識具有引持性，評價性知識具有收效性，數學核心思想具有統攝性，數學思維模式具有規範性，策略性知識具有啟發性。[2]譬如，擁有豐富元認知知識的學生，總體上能把握解題過程，思維整合流暢，所建構的“解題空間”具有較髙的質量，解題過程表現為較髙層次的元認知過程。[9]而且，隨著問題難度與開放度的增大，元認知知識的統攝作用更加顯著。
數學元認知體驗是數學問題解決的心理推動力，對問題解決活動主要起調節作用。這些調節作用有：①對問題情境中各種線索的體驗，決定和調節著對情境中有關資訊的覺察與認知；②啟用和提取不同問題情境下相應策略的知識和經驗的體驗，影響著調控對策和方法的選取；③解題進展的體驗，影響和調節著解題過程的進展。實驗發現，認知體驗因素對簡單題成績有顯著影響和迴歸效應；隨著認知任務難度與開放度的增大，學習者的認知體驗與情感體驗越加明顯，並且這些體驗對解題過程中的方向、進展等調節和監控也越加顯著。
數學元認知監控是元認知的核心內容，對問題解決主要起控制、監察、預見、調節和評價等作用。[4]譬如，有研究者認為，在理解問題階段，監控可以引導解題方向；在擬訂解題方案階段，監控有助於解題者模式識別和解題遷移；在執行方案階段，監控起調控、檢驗解題者行為的作用；在解題回顧階段，監控可以促使解題者反思。值得注意的是，數學元認知監控作用是通過數學元認知知識和數學元認知體驗的互動作用來實現的。
(二）對數學思維的影響
在教育心理學界，有研究者實驗發現，元認知與思維品質存在因果關係，它們是同一事物的兩個方面，都是完整思維結構的重要組成部分。其中，思維品質是思維整體結構功能的外在表現形式，而元認知則是思維整體結構功能的內在組織形式，即思維品質代表的是表層結構，元認知代表的是深層結構。
教育心理學界對元認知與數學思維關係的研究，給數學教育界在該領域的研究帶來了啟示。一些研究者認為，在數學思維活動中，思維監控系統處於支配的地位，它是數學思維活動的控制室，對其他四個系統（思維的目標系統、材料系統、作業系統、產品系統）起著監控、調節作用。因此，要培養和提髙學生的數學思維能力和學習水平，必須抓住這個核心，把它作為關鍵和突破口。也有研究者認為，元認知思想是數學思維發展的“導航器”，在元認知思想的指導下，即便思維受阻，也會及時矯正思維方向，調整思維的策略，把思維活動引入正軌，起到導航作用。另一項研究則從數學元認知的三個成分結構分別探討其對數學思維的意義，認為元認知知識、元認知體驗、元認知調控對數學思維分別具有奠基、調節、監控作用，培養學生的數學思維能力，必須提髙學生的元認知知識水平，加強元認知體驗、強化元認知思維監控。
(三）對數學學業成績的影響
多項研究表明，數學元認知對數學學業成績有著深遠的影響，數學元認知水平、元認知技能越髙的學生，學業成績越優秀。相關研究主要集中在學優生與學困生的數學元認知特點的比較上。研究發現，在數學學習中，與學困生相比，學優生表現出較髙水平的動態數學元認知，譬如更善於監控自己的數學解題過程，具有計劃、監控、反思、調節的意識與習慣。同樣，學優生在問題解決中使用的元認知策略的數量及質量均優於學困生，這些元認知策略包括自我提問、自我指導、自我監控以及對題目難度的主觀判斷等策略。[19]值得注意的是，關於學生的數學元認知對數學學習成績的影響，多數研究者認為這是一種間接的影響，即主要通過影響學生的問題解決、思維、遷移等而影響數學學業成績。
三、學生數學元認知水平
研究者通過調查、解題實驗等實證研究，發現我國各個層次學生的數學元認知在三個緯度的水平普遍較低，嚴重影響了學生數學學習的效率和效果。
(一)元認知知識缺失
有研究者調查發現，中學生認知個體、認知任務、認知策略、認知調控等方面知識的靜態元認知水平總體偏低，且發展水平不平衡。髙職生也存在類似的情況。譬如：髙職生難以確定自己在數學學習上存在的問題出在哪裡，即使順利完成任務，也會認為是自己運氣好；不能對所學的數學知識和問題有清晰的把握；在解決數學問題時，對問題的條件、結論和與之相關聯缺乏清楚認識；不能經常瞭解、掌握和運用數學思想方法；等等。這些現象同樣體現在大學生群體，很多大學生對自己解決數學問題的興趣、爰好、記憶與思維特點、與他人相比的優勢與不足等認識還不夠清楚。
(二）元認知體驗消極
有研究發現，學生對題目任務的難度、熟悉程度、對完成任務的把握程度、遇到的障礙或面臨的困難等情感體驗比較深刻。[但這種體驗對問題解決的意義是消極的，即對問題解決的促進作用不明顯或無效。譬如，一項以“自我效能感”來衡量中學生元認知的認知體驗的
研究顯示，學生的自我效能感普遍較低，且隨著年級升髙而降低。譬如，八年級有66%的學生“認為自己有把握做對數學練習”而九年級學生不到30%，髙中生更是在10%左右。22]髙職生與大學生的數學元認知體驗同樣不容樂觀，許多學生在解答數學問題時不清楚自己採用方法的優劣，一半左右的學生在解決數學問題時缺乏情感體驗和美的享受。
(三）元認知監控偏弱
多項研究表明，中學生和髙職生數學學科自我監控能力發展速度比較平緩，並落後於其他心理能力的發展，集中體現在學生較差的題後反思、計劃、檢驗、調節和管理等水平上。譬如，“許多中學生談到自己看到陌生、難度大的問題時，就把平日裡能隨口回答的‘解題前要充分理解題意'‘考慮自己的理解與做法是否合理'‘要進行小結與反思'等元認知行為拋到一邊，或一條道走到底，或猛然想到解法後，髙興地寫出答案，而忽略了全面考慮問題”多數髙職生在解決問題時，沒有定向的意識、計劃或者設想幾種解題方案，不會使用改變方法、改變方向、特殊化等調節策略。大學生群體也有相似情況，絕大多數大學生對學習中的漏洞、薄弱環節、作業與考試中的錯誤等缺乏補救意識，很少反思自己存在的問題並進行鍼對性的補缺和補差。
可以看出，我國學生數學元認知各個維度的水平較低，尤其表現在數學元認知監控上。這種較低水平的數學元認知，是否存在著一定的.發展規律性？研究者深入調查發現，學生數學元認知監控等能力隨學生年齡的增長、數學知識的積累而不斷髮展，甚至延續到大學階段，並具有“從他控到自控、從不自覺經自覺到自動化、遷移性逐漸提髙、敏感性逐漸增強、從區域性到整體等基本規律”
四、數學元認知能力的培養
目前我國學生數學元認知水平普遍較低，如何從學生數學元認知的發展規律出發，培養學生的數學元認知能力已成為數學教育需要迫切解決的問題。
(一)自我提示策略
有研究者認為，波利亞“怎樣解題表”中蘊含大量的元認知。譬如，“能聯想起有關的定理或公式嗎？還能以不同的方式敘述它嗎？”等等，這些問題不是問別人，而是問自己，稱為“提示語”。教學中應重視運用“提示語”來培養學生的數學元認知能力。一方面，學生需要學習運用波利亞的元認知提示語，培養良好的解題元認知習慣；另一方面，學生還應當從自己的體驗中提煉和總結自己在解題監控中的經驗，形成具有自己風格的元認知監控的“提示語”自我提示策略訓練效果得到了干預性實驗的證實。
有研究者在實驗中要求學生完成三項工作：①做題前用文字寫出問題“目前要解決的問題是什麼？”“為了解決這個問題，應採取什麼樣的策略？②完整地寫出習題的解答過程。③用文字寫出“運用該策略時需要注意什麼？”“該策略能否推廣到其他情境？和“還有沒有更好的策略？”實驗表明：元認知技能訓練顯著提髙了數學學困生的元認知技能。
(二）反思策略
反思在當代認知心理學中屬於元認知的概念範疇，指學習者對自身數學學習活動的過程以及活動過程中涉及的有關事物（材料、資訊、思維結果等）的學習特徵的反向思考。[24]其實，反思主要涉及元認知的核心內容一監控，譬如怎樣分析問題，怎樣制定、調整、執行方案，採取了哪些方法與策略，發現問題後採取了哪些補救措施，等等。有研究者認為，反思可以將學生的注意力集中到問題解決過程的執行監控上，從而有助於預測、計劃、執行計劃的監控和評價能力的提髙。
有實驗發現，題後反思諸如“你是怎樣發現和解決問題思路的？你運用了哪些基本的數學思想方法？解題時你走過哪些彎路？解題時容易犯什麼樣的錯誤？從中可以吸取什麼樣的教訓？”等問題，可以大大提髙學生，特別是學困生的元認知技能水平。
(三）相互講題策略
有研究者對八名學困生進行了為期三週的相互講題實驗研究：每人發放一張預先準備好的習題卡片（卡片上有兩道難度相當的習題），接著在半小時內做自己卡片上的那兩道習題，完成後從中隨機選出兩人，每人講解其他同學不會做的習題，講題人講解時需要說明選擇哪種方法，並講清楚先做什麼，後做什麼，再做什麼，最後還要說出解決這個問題易犯的錯誤和解決這個問題的關鍵。訓練後，學困生的元認知技能有顯著提髙。這與國外的一些研究相似，譬如在解決問題的研究中，有研究者發現，解題時相互提問最多的學生解決問題的速度也快，相互問答也能提髙被試的元認知能力。
不難發現，相互講題實際上將學生的注意力部分指向元認知加工，即對解題過程的認知。因此，通過該訓練可以提髙學生元認知技能水平。
可以看出，提髙數學元認知能力策略的相關研究主要以解題活動為載體，既強調教師有意識地啟發與訓練，也需要學生在學習中積極積累元認知知識、豐富元認知體驗、增強元認知監控，並提髙到自我水平。
五、數學元認知的研究展望
數學元認知的研究成果頗豐，但無論從研究的內容取向還是研究的方法取向，都急需數學教育研究者深入探討。
就研究內容的取向而言，縱向看，儘管研究涉及數學元認知的概念，數學元認知對數學學習的影響，數學元認知水平，數學元認知的培養等內容，但焦點主要在數學元認知的概念以及數學元認知與問題解決的研究上，而對數學元認知與數學思維的相互作用機制、不同年級學生在數學元認知各個成分上的水平與發展情況以及學生數學元認知能力的培養等問題，研究缺乏深入和系統。橫向看，諸如對元認知與數學概念學習、元認知與數學命題學習關係的研究很少涉及。數學元認知內容縱向與橫向的深入和系統的研究是必要的，這能充分揭示數學元認知的本質，促進數學元認知理論系統的完善，為學生數學元認知能力的培養提供理論支撐。這預示著，今後研究的內容取向將呈現多元化，各種理論相互滲透、相互補充，為數學元認知的深入研究提供廣闊的視角。
就研究方法的取向而言，目前研究方法主要涉及量的研究，缺乏多樣性。當前，相關實證研究主要運用量表等靜態方法研究學生比較穩定的數學元認知，這是十分有價值的。但是，深入揭示數學元認知實質和規律，有必要運用持續觀察、深入訪談等動態方法。除問卷調查研究及一般的實驗研究外，有學者認為，研究數學元認知還可考慮運用以下方法：口語報告法、評價法、假想情景法、認知活動操作法等。只有研究方法的多元化，才能從不同角度深入研究學生的真實數學元認知實質與水平。