張存浩先生要我講點數學，這麼短的時間，而數學這麼大，只好舉幾個要點談談。數學是什麼？數學是根據某些假設，用邏輯的推理得到結論，因為用這麼簡單的方法，所以數學是一門堅固的科學，它得到的結論是很有效的。這樣的結論自然 對學問的各方面都很有應用，不過有一點很奇怪的，就是這種應用的範圍非常大。最初你用幾個數或畫幾個圖就得到的一些結論，而由此引起的發展卻常常令人難以想象。在這個發展過程中，我認為不僅在數學上最重要，而且在人類文化史上也非常突出的就是Euclid在《幾何原本》。這是第一本系統性的書，主要的目的是研究空間的性質。這些性質都可以從很簡單的公理用邏輯的推理得到。這是一本關於整個數學的書，不僅僅限於幾何學。例如，Euclid書上首先證明素數的個數是無窮的，這便是一個算術的結論。隨著推理的複雜化，便有許多“深刻”的定理，需要很長的證明。例如，有些解析數論定理的證明，便需幾十條引理。最初，用簡單的方法證明幾個結果，大家很欣賞，也很重要。後來方法發展了，便產生很複雜的推理，有些定理需要幾十頁才能證明。現在有的結果的證明甚至上百頁，上千頁。看到這麼複雜的證明，我們固然驚歎某些數學家高超的技巧和深厚的功力，但心中難免產生一些疑問，甚或有些無所適從的感覺。所以我想，日後數學的重要進展，在於引進觀念，使問題簡化。
先講講有限單群的問題。
1.有限單群
我們知道，數學的發展中有一個基本觀念—群。群也是數學之中各方面的最基本的觀念。怎樣研究群的結構呢？最簡單的方法是討論它的子群，再由小的群的結構慢慢構造大一些的群。群中最重要的一種群是有限群，而有限群是一個難極了的題目，需要有特別的方法，特別的觀念去研究。
命G為群，g∈G為一子群，如對任何g∈G，gH-1g ∈H，則稱H為正規的(nomal)。正規子群存在，可使G的研究變為子群H及商群G/H的研究。這樣就有一個很自然的問題，有哪些有限的單群(simple group)。單群除了它自己和單位元(identity)之外，沒有其他的非平凡的正規子群(normal subgroup)。數學上稱其為簡單群，其實一點也不簡單。有限群論的一個深刻的定理是Fei-Thompson定理：非交換單群的階(數)(即群中元素的個數)是偶數。更不尋常的是除了某些大類(素數階迴圈群Zp,交錯群An(n>=5)，Lie型單群)外，後來發現了26個零零碎碎的有限單群(散在單群，離散單群)，現在知道，最大的散在單群的階是
41 20 9 6 2 3 54 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 41 47 59 71 =808,017..=1054
這是很大的單群，由er和ss兩位數學家所發現，數學家稱它為魔群(怪物，Monster)。單群的權威數學家nstein相信有限單群都在這裡了，這當然是數學上一個很好的結果。把單群都確定了，就像化學家把元素都確定了，物理學家把核子的結構都確定了一樣。可這裡有個缺點，Gorenstein並未將證明寫出來。他講若將證明寫出來至少有1000頁，而1000頁的證明無論如何很容易有錯誤。可是Gorenstein又說，不要緊，若有錯誤，這個錯誤一定可以補救。你相信不相信？數學界有些人懷疑這樣的證明是否必要。現在計算機的出現，許多問題可以驗證到很大的數，是否還需要嚴格的證明，已變成數學上一個有爭論的問題。這個爭論看來一時無法解決。段學復先生是我的老朋友，是有限群論的專家，也許我們可以問一下他的意見。我個人覺得這個問題很難回答。不過數學家有個自由，當你不能做或不喜歡做一個問題時，你完全不必投入，你只需做一些你能做或喜歡做的問題。
2. 四色問題
把地圖著色，使得鄰國有不同的顏色，需要幾種顏色？經驗告訴我們，四色夠了。但是嚴格的證明極難。這就是有各的四色問題。地圖不一定在球面上，也可在虧格高的的曲面上(一個虧格高為g的曲面在拓撲上講是球面加g個把手；虧格為1的曲面可設想為環面)。可驚奇的是，這個著色問題，對於g>=1的曲面完全解決了。可以證明：有整數χ(g),滿足條件：在虧格為g的曲面上任何地圖都可用χ(g)種顏色著色，使鄰國有不同顏色，且有地圖至少需要χ(g)種顏色。這個數在g>=1時可以完全確定。我們知道χ(1)=7，即環面上的地圖可用七色著色，四 色不夠。
令人費解的是，證明地球上四色定理，困難多了。現有的證明，需要計算機的幫助，與傳統的證明不同。而我們覺得最簡單的情況，即我們住的地球球面上的著色問題反而特別複雜。把擴充的問題解決了，得到了很有意思的結論。但是回到基本問題，反而更難。這種現象不止這一個，還有很多，一個例子是所謂的低維拓撲，即推廣的問題更簡單，而本身核心的問題反而不易克服，這確是數學神祕性的一面。
3.橢圓曲線
最近的數學進展，最受人注意的結果就是Fermat大定理的證明。Fermat大定理說：方程式xn+yn=zn ,n>2沒有非平凡的整數解(即xyz≠0)。這個傳說了300年的結果的證明，最近由 Princeton大學的教授Andrew s(英國數學家)給出。但證明中缺一段，是由他的學生Richard Tarlor補充的。因此，Fermat定理現在已經有了一個完全的證明。整個文章發表在最近一期的“Annals of Mathematics"(Prinston大學雜誌，1996，第一期)整個一期登的是Wiles與Taylor的論文，證明Fermat定理 (Wiles 為此同Robert Langlands 獲得了1996年的Wolf獎與National Academy Science Award in Mathematics)。
有意思的是，證明這個定理的關鍵是橢圓曲線。這是代數數論的一個分支。有以下一則 故事。英國的大數學家y(1877-1947)有一天去醫院探望他的朋友，印度天才數學家nujan(1887-1920)y 的汽車號是1729。他向 Ramanujan說，這個數目沒有意思。Ramanujan說，不然，這是可以用兩種不同方法寫為2個立方之和的最小的數，如1729=13+123=93+103。這結果可用橢圓曲線論來證明。我們知道，要找一個一般方程的解不容易的，而要找一個係數為整數的多項式方程P(x,y)=0(傳統上叫Diophantine方程)的整數解更困難。因為普通的解不會是整數，這是數論中的一個主要問題。
需要說明的，在Wiles完成這個證明之前，我有一位在Berkley的朋友Kenneth t，他有重要的貢獻。他證明了一日本數學家Yutaka Taniyama的某一個關於橢圓曲線的假設包含Fermat定理。於是可將Fermat定理變為一個關於橢圓曲線的定理。Wiles根據Ribet的結果又繼續經過了許多步驟，以至達到最後的證明。即在複平面內得到曲線。由複變函式論知道，複平面內的曲線就成為一個Riemann曲面。Riemann曲面為定向曲面，它可以是球，也可以是球加上好多把手。其中有一個最簡單的情形，就是一個球加上一個把手，即一個環面。環面是個群，且為可交換群。所謂橢圓曲線，就是把這個曲線看成複平面內虧格(genus)等於1的復曲線。虧格等於1的曲線有一個非常深刻而巧妙的性質。即它上面的點有一個可交換群的構造。兩個點可以加起來，且有群的性質。這是很重要的性質。橢圓曲線與橢圓無關。原因是，若所有曲線的虧格大於1，相當於Riemann曲面有一個Poincare度量，它的曲率等於1，所有曲面若其曲率等於—1，則叫做雙曲的。虧格等於1的叫橢圓。虧格等於0的叫拋物線。橢圓曲線的研究是數論中非常重要，非常有意思的方面。最近一期的科學雜誌(Science)，有位先生寫了一篇關於橢圓曲線的文章。橢圓曲線在電報的密碼上有應用。而中國也有很多人在做代數幾何與代數數論方面的工作。最近在黃山有一個國際性的，題為“代數幾何與代數數論”的會議，由馮克勤先生主持。
從這個定理我們應認識到：高深的數學是必要的。Fermat定理的結論雖然簡單，但它蘊藏著許多數學的關係，遠遠超出結論中的數學觀念。這些關係日新月異，十分神妙，學問之奧，令人拜賞。我相信，Fermat定理不能用初等方法證明，這種努力是徒勞的。數學是一個整體，一定要吸取幾千年所有的進步。
4.拓撲與量子場論
1995年初的一天晚上，我在家看晚間電視新聞。突然，我聽到自己的名字，大吃一驚。 原來加利福尼亞發一種，頭彩300萬美元，若無人中彩的話，可以積累到下一次抽彩。我從前的一個學生，名Robert Uomini，中了頭彩美金2200萬元。他曾選過我的本科課，當時還對微分幾何很有興趣。他很念舊，以100萬美元捐贈加州大學，設立“陳省身講座”。學校決定，以此講座邀請名學者為訪問教授。第一位應邀的為英國數學家Sir Michael Atiyah。他到中國不止一次。他是英國影響最大的數學家，劍橋大學三一學院的院長，則卸任的英國皇家協會會長。Atiyah很會講學，也很博學，他的報告有很大的吸引力。他作了八講，講題是“拓撲與量子場論”。
這是當前一個熱門的課題，把高深的數學和物理聯絡起來了，匯出了深刻的結果。現在拓撲在物理上有非常重要的應用，這跟楊振寧的Yang-Mills場方程有很密切的關係。楊先生喜歡說，你們數學家寫的東西，我們學物理的人看不懂，等於另外一種文字。我想我們搞數學的人有責任把我們的結果，寫成不是本行的人也至少知道你講的是怎麼一回事。物理學，量子力學，尤其是量子場論與數學的關係其實並不複雜。說到數學的應用，講一下向量空間，Euclid空間就是一個向量空間。再進一步，多個向量空間構成一個拓撲空間，這就是所謂的向量叢，即一束這樣的空間。這樣的空間有一些簡單的性質。比如說，區域性來講，這種向量空間是一個chart，是一個集，可用座標來表示。結果發現向量叢這種空間在物理上很有用。物理學的一個基本觀念是“場”。最簡單的場是電磁場，尤為近代生活的一部分。電磁場的“勢”適合Maxwell方程。Hermann Weyl第一個看出這個勢不是一個確定的函式。它可以變化。這在物理上叫做規範(gauge，不完全確定的，可以變化的)，這就是物理上規範場論的第一個情形。
物理上有4種場：電磁場，引力場，強作用場和弱作用場。現在知道，這些場都是規範場。即數學系上是一束向量空間，用一個線性群來縫住的。電磁場的重要推廣，是Yang-Mills的規範場論。楊先生的偉大貢獻就是在SU(2)(special unitary group in two variables)情形下得到物理意義明確的規範場，即同位旋(isospin)規範場，這種將數學現象給以物理的解釋，是件了不起的工作，因為以往的Maxwell 場論是一個可交換的群。現在變為在SU(2),群是不能交換的。而實際上，物理中找到了這樣的場，這是科學上一個偉大的發展。數學家可以自豪的是，物理學家所需的幾何觀念和工 具，在數學上已經發展了。
楊先生之所以有這麼大的成就，其中一個很重要的，很了不起的原因是除了物理的感覺以外，他有很堅實的數學基礎。他能夠在這大堆複雜的方程中看出某些規律，它們具有某種基本的數學性質。Yang-Mills方程的數學基礎是纖維叢。這種觀念Dirac就曾有過。Dirac的一篇基本論文中就講到這種數學。但Dirac沒有數學的工具。所以他在講這種觀念時，不但數學家不懂，就連物理學家也不懂。不過，其中有一個到現在還未解決的物理含義，即有否磁單極(magnetic monople)。可能會有。就是說，有否這樣的場，它的曲率不等於0(曲率是度量場的複雜性的)?物理上要是發現了這種場，會是件不得了的事實。這些觀念的數學不簡單。
Yang-Mills方程反過來影響到拓撲。現在的基礎數學中，所謂低維拓撲(二維，三維，四維)非常受人注意。因為物理空間是四維空間。而四維空間有許多奇妙的性質。我們知道代數幾何，曲線論，複變函式論等許多基礎數學理論是二維拓撲。而現在必到四維，四維有spinor理論，有quantum結構。四維與物理更接近。它的結構是Lorentz結構，而不是Riemann結構。這方面有很多工作可做。根據Yang-Mills方程，對於四維拓撲，Atiyah的學生英國數學家Simon Donaldson有很重要的貢獻。其中有一個結果就是利用Yang-Mills方程證明四維Euclid空間R4有無數微分結構與其標準結構不同。這一結果最近又由Seiberg-Witten的新方程大大的簡化了。這是最近拓撲在微分幾何，理論物理應用方面最引人注意的進展。
二維流形的發展有一段光榮的歷史，牽涉到許多深刻的數學。可以斷言，三維，四維流形將更為豐富和神妙。
5.球裝問題(Sphere Packing)
如何把一定的空間裝得最緊，顯然是一個實際而重要的問題。項武義教授最近在這方面做了很重要的工作。這裡先介紹一個有關的問題：圍著一個球，可以放幾個同樣大小的球？我們不妨假定球的半徑為一，即單位球。在平面情形，繞一單位圓我們顯然可以放6個單位圓。而在三維空間的情況則更為複雜。如果把單位球繞單位球相切，不難證明，12個球是放得進的。這時雖然還剩下許多空間，但不可能放進第13個球。要證明這一結論並不容易。當年Newton與Gregory有個討論。Newton 說第13個球裝不進，Gregory說也許可以。這個爭論長期懸而未決。一直到1953年，tte和 der Waerden才給了一個證明。這個證明是很複雜的。
一個更自然的問題是怎樣把一個立方體空間用大小相同的球裝得最緊。衡量裝得是否緊湊的尺度是密度(density)，即所裝的球的`總的體積和立方體空間的體積的比例。Kepler於1611年提出了一個猜想：他認為立方體的球裝的密度不會大於π/(18^1/2)。項武義說他證明了這個猜想。可是有人(Gabor Fejes Toth)認為他的證明不完全，甚至有人(Thomas s)說是錯誤的。"Mathematical Intelligencer"這個雜 志上(1995年)，有關於這一問題的討論，項武義有個答覆。Toth是匈牙利數學家，三代人搞同一個課題。匈牙利數學很發達，在首都布達佩斯有個200多人的幾何研究所。我不知道幾何中是否有這麼多重要的問題需要這麼多人去做。最年輕的Toth在“Mathematics Reviews"中有篇關於項的文章的評論。他說項的文章有些定理沒有詳細的證明。天下的事情就是這樣。做重要工作有爭議的時候，便產生一些有趣的現象。不過他覺得項的意思是對的。不但項的意思是對的，甚至表示這個意思他從前也有。最近項武義把他認為沒有的證明都有寫出來了。
最主要的，我要跟大家說的是立體幾何在數學中是很重要而因難的部分。即使平面幾何也可能很難。到了立體時，則更為複雜。近年來對碳60(C60)的研究顯示了幾何在化學中的應用。多面體圖形的幾何性質對固態物理也有重大的作用。球裝不過是立體幾何的一個 問題。立體幾何是大有前途的。
ler幾何
最近經我鼓勵，Finsler幾何有重大發展，作簡要報告如下：在(x,y)平面上設積分s=∫ab F(x,y,dy/dx)dx，其中y是x的未知函式。求這個積分的極小值，就是第一個變分學的問題。稱積分s為弧長，把觀念幾何化，即得Finsler幾何。Gauss看出，在特別情形：F2=E(x,y)+F(x,y)y#39;2+G(x,y)y#39;2，y#39;=dy/dx，其中E,F,G為x,y的函式，幾何性質特別簡單。1854年，Riemann的講演討論了整個情形，創立了Riemann-Finsler幾何。百餘年來，Riemann幾何在物理中有重要的應用，而整體Riemann幾何的發展更是近代數學的核心部分。
Riemann的幾何基礎包含Finsler幾何。我們最近幾年的工作，把Riemann幾何的發展，區域性的和整體的，完全推廣到Finsler幾何，而且很簡單。因此，我覺得以後的微分幾何課或Riemann幾何課都應該講一般情形。最近有幾個拓撲問題，最主要的一個是Riemann流形的一個重要性質，即英國數學家Hodge的調和積分。現在有2個年輕人，一個是David Bao，另一個是他的美國學生，把這個Hodge的調和積分推廣到了Finsler情 形。這將是微分幾何的一塊新園地，預料前景無限。1995年夏在美國西雅圖有一Finsler幾何的國際會議。其論文集已於今年由美國數學會出版。Finsler幾何在1900年有名的Hilbert演講中是第23個問題。
7.中國的數學
數學研究的最高標準是創造性：要達到前人未到的境界，要找著最深刻的關鍵。從另一點看，數學的範圍，是無垠的。我願藉此機會介紹一下科學出版社從俄文翻譯的《數學百科全書》，全書5大卷，每卷約千頁。中國能出版這樣的鉅著，即是翻譯，也是一項可喜的成就。這是一部十分完備的百科全書，值得讚揚的。對著如此的學問大海，入門必須領導，便需要權威性的學校和研究所。數學是活的，不斷有傑出的貢獻，令人讚賞佩服。但一個國家，比較可以集中某些方面，不必完全趕時髦。當年芬蘭的複變函式論，波蘭的純粹數學，都是專精一門而有成就的例子。中國應該發展實力較強的方面。但由百科全書的例子，可看出中國的數學是全面的。這是一個可喜的現象。中國的財富在“人民”。中國的數學政策，除了鼓勵尖端的研究以外，應該用來提高一般的數學水平。我有兩個建議：
(1)設立數學講座，待遇從優，其資格可能是對數學發展有重大貢獻的人；
(2)設立新的數學中心，似乎成都，西安，廣州都是可能的地點。中心應有相當的經費，部分可由地方負擔，或私人籌措。
近年因為國家開放，年輕人都想經商賺錢，當然國家社會需要這樣的人。但是做科學的樂趣是一般人不能理解的。在科學上做了基本的貢獻，有歷史的意義。我想對於許多人，這是一項了不得的成就。在崗位上專心學問，提攜後進，“得天下之英才而教育之”，應該是十分愉快的事情。 一個實際的問題，是個人應否讀數學。Hardy 說，一個條件是看你是否比老師強。這也許太強一些。我想學習應不覺困難，讀名著能很快與作者聯絡，都是測驗。數學是小科學，可以關起門來做。在一個多面競爭的社會中，是一項有優點的職業，即使你有若干能力。中國的數學有相當水平。從前一個數學家的最高標準，是從國外名大學獲得博士學位。我們國家現在所需做的，是充實各大學的研究院，充實博士學位，人才由自己訓練。