一. 教學內容: 三角函式的影象與性質
高中數學教學-三角函式的性質及應用教學視訊
二. 教學目標:
瞭解正弦函式、餘弦函式、正切函式的影象和性質,會用“五點法”畫正弦函式、餘弦函式和函式y=Asin(ωx+φ)的簡圖,理解A、ω、φ的物理意義。
三. 知識要點:
1. 正弦函式、餘弦函式、正切函式的影象
2. 三角函式的單調區間:
的遞增區間是
,遞減區間是
;
的遞增區間是
,遞減區間是
的遞增區間是
, 3. 函式
最大值是
,最小值是
,週期是
,頻率是
,相位是
,初相是
;其圖象的對稱軸是直線
,凡是該圖象與直線
的交點都是該圖象的對稱中心。 4. 由y=sinx的圖象變換出y=sin(ωx+
)的圖象一般有兩個途徑,只有區別開這兩個途徑,才能靈活地進行圖象變換。
利用圖象的變換作圖象時,提倡先平移後伸縮,但先伸縮後平移也經常出現.無論哪種變形,請切記每一個變換總是對字母x而言,即圖象變換要看“變數”起多大變化,而不是“角變化”多少。
途徑一:先平移變換再週期變換(伸縮變換)
先將y=sinx的圖象向左(
>0)或向右(
<0=平移|
|個單位,再將圖象上各點的橫座標變為原來的
倍(ω>0),便得到y=sin(ωx+
)的圖象。
途徑二:先週期變換(伸縮變換)再平移變換。
先將y=sinx的圖象上各點的橫座標變為原來的
倍(ω>0),再沿x軸向左(
>0)或向右(
<0,平移
個單位,便得到y=sin(ωx+
)的圖象。
5. 對稱軸與對稱中心:
的對稱軸為
,對稱中心為
;
的對稱軸為
,對稱中心為
; 對於
和
來說,對稱中心與零點相聯絡,對稱軸與最值點相聯絡。 6. 五點法作y=Asin(ωx+
)的簡圖:五點法是設X=ωx+
,由X取0、
、π、
、2π來求相應的x值及對應的y值,再描點作圖。
【典型例題】
例1. 把函式y=cos(x+
)的圖象向左平移
個單位,所得的函式為偶函式,則
的最小值是( ) A.
B.
C.
D.
解:先寫出向左平移4個單位後的解析式,再利用偶函式的性質求解。
向左平移
個單位後的解析式為y=cos(x+
+
) 則cos(-x+
+
)=cos(x+
+
), cosxcos(
+
)+sinxsin(
+
)=cosxcos(
+
)-sinxsin(
+
) ∴sinxsin(
+
)=0,x∈R. ∴
+
=kπ,∴
=kπ-
>0 ∴k>
,∴k=2,∴
=
答案:B
例2. 試述如何由y=
sin(2x+
)的圖象得到y=sinx的圖象。解:y=
sin(2x+
)
另法答案:
(1)先將y=
sin(2x+
)的圖象向右平移
個單位,得y=
sin2x的圖象; (2)再將y=
sin2x上各點的橫座標擴大為原來的.2倍(縱座標不變),得y=
sinx的圖象; (3)再將y=
sinx圖象上各點的縱座標擴大為原來的3倍(橫座標不變),即可得到y=sinx的圖象。例3. 求函式y=sin4x+2
sinxcosx-cos4x的最小正週期和最小值;並寫出該函式在[0,π]上的單調遞增區間。解:y=sin4x+2
sinxcosx-cos4x =(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+
sin2x =
sin2x-cos2x =2sin(2x-
). 故該函式的最小正週期是π;最小值是-2;單調遞增區間是[0,
],[
,π] 點評:把三角函式式化簡為y=Asin(ωx+
)+k(ω>0)是解決週期、最值、單調區間問題的常用方法。例4. 已知電流I與時間t的關係式為
。 (1)下圖是
(ω>0,
) 在一個周期內的圖象,根據圖中資料求
的解析式;
(2)如果t在任意一段
秒的時間內,電流
都能取得最大值和最小值,那麼ω的最小正整數值是多少?
解:本小題主要考查三角函式的圖象與性質等基礎知識,考查運算能力和邏輯推理能力。
(1)由圖可知 A=300
設t1=-
,t2=
則週期T=2(t2-t1)=2(
+
)=
∴ω=
=150π 將點
代入 ∴
=
故所求的解析式為
(2)依題意,週期T≤
,即
≤
,(ω>0)
∴ω≥300π>942,又ω∈N*
故最小正整數ω=943.
點評:本題解答的開竅點是將圖形語言轉化為符號語言.其中,讀圖、識圖、用圖是形數結合的有效途徑。
【模擬試題】
1. 在(0,2π)內,使sinx>cosx成立的x的取值範圍是( )
A. (
,
)∪(π,
) B. (
,π) C. (
,
) D. (
,π)∪(
,
)
2. 如果函式f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π=的最小正週期是T,且當x=2時取得最大值,那麼( )
A. T=2,θ=
B. T=1,θ=π C. T=2,θ=π D. T=1,θ=
3. 設函式f(x)=A+Bsinx,若B<0時,f(x)的最大值是
,最小值是-
,則A=_______,B=_______。 4. 已知函式y=tan(2x+
)的圖象過點(
,0),則
可以是( ) A. -
B.
C. -
D.
5. 函式y=sin(
-2x)+sin2x的最小正週期是( ) A. 2π B. π C.
D. 4π
6. 若f(x)sinx是週期為π的奇函式,則f(x)可以是( )
A. sinx B. cosx C. sin2x D. cos2x
7. 函式y=2sin(
-2x)(x∈[0,π])為增函式的區間是( ) A. [0,
] B. [
,
] C. [
,
] D. [
,π] 8. 把y=sinx的圖象向左平移
個單位,得到函式__________的圖象;再把所得圖象上的所有點的橫座標伸長到原來的2倍,而縱座標保持不變,得到函式__________的圖象。
9. 函式y=lg(cosx-sinx)的定義域是_______.
10. f(x)=2cos2x+
sin2x+a(a為實常數)在區間[0,
]上的最小值為-4,那麼a的值等於( )
A. 4 B. -6 C. -4 D. -3
【試題答案】
1. 答案:C
2. 解析:T=
=2,又當x=2時,sin(π·2+θ)=sin(2π+θ)=sinθ,要使上式取得最大值,可取θ=
。
答案:A
3. 解析:根據題意,由
可得結論答案:
-1 4. 解析:將(
,0)代入原函式可得,tan(
+
)=0,再將A、B、C、D代入檢驗即可。
答案:A
5. 解析:y=
cos2x-
sin2x+sin2x=
cos2x+
sin2x=sin(
+2x),T=π.
答案:B
6. 答案:B
7. 解析:對於y=2sin(
-2x)=-2sin(2x-
),其增區間可由y=2sin(2x-
)的減區間得到,即2kπ+
≤2x-
≤2kπ+
,k∈Z。 ∴kπ+
≤x≤kπ+
,k∈Z.令k=0,故選C.
答案:C
8. 解析:向左平移
個單位,即以x+
代x,得到函式y=sin(x+
),再把所得圖象上所有點的橫座標伸長到原來的2倍,即以
x代x,得到函式:y=sin(
x+
)。答案:y=sin(x+
) y=sin(
x+
) 9. 解析:由cosx-sinx>0
cosx>sinx.由圖象觀察,知2kπ-
(k∈Z) 答案:2kπ-
(k∈Z) 10. 解析:f(x)=1+cos2x+
sin2x+a=2sin(2x+
)+a+1. ∵x∈[0,
],∴2x+
∈[
,
]. ∴f(x)的最小值為2×(-
)+a+1=-4
∴a=-4.