摘要：數學思想方法是數學的靈魂和精髓，如何在中學數學教材中體現數學思想方法，不失時機的向學生滲透數學思想方法是一個十分重要的問題。本文著重探討高中數學內容中所蘊含的數學思想方法，並對實驗教材與普通教材在數學思想方法處理方面進行比較。通過比較我們看到，《中學數學實驗教材》中更突出了數學思想和數學方法，體現了知識教學和能力培養的統一。並且我們必須重視數學思想方法，深化數學教材改革，讓學生學會用數學思想方法分析問題、解決問題，切實實現素質教育的要求。
關鍵詞：數學思想方法，數學教材
一、問題提出
數學思想方法是以具體數學內容為載體，又高於具體數學內容的一種指導思想和普遍適用的方法。它能使人領悟到數學的真諦，學會數學的思考和解決問題，並對人們學習和應用數學知識解決問題的思維活動起著指導和調控的作用。日本數學教育家米山國藏認為，學生在進入社會以後，如果沒有什麼機會應用數學，那麼作為知識的數學，通常在出校門後不到一兩年就會忘掉，然而不管他們從事什麼業務工作，那種銘刻在人腦中的數學精神和數學思想方法，會長期地在他們的生活和工作中發揮重要作用。所以突出數學思想方法教學，是當代數學教育的必然要求，也是數學素質教育的重要體現，如何在中學數學教材中體現數學思想方法也是一個十分重要的問題．
2001年我國新一輪基礎教育課程改革已正式啟動,此次基礎教育數學課程改革的特點之一就是把數學思想方法作為課程體系的一條主線。已經有不少文章探討國中數學教材中的數學思想方法，但對高中數學教材中蘊含的數學思想方法探討較少。事實上，高中數學教材的改革也已經開始醞釀，目前高中普遍使用的數學教材是人教社2000年版的《全日制普通高階中學教科書（試驗修定本）數學》（下稱普通教材），也有部分高中根據學生的情況選用了原國家教委的《中學數學實驗教材（試驗本必修數學）》（下稱實驗教材）。可以說在素質教育推動下，與舊數學教材相比這兩套新教材在內容、結構編排上都有了很大變化，都體現了新的數學教育觀念，而在原國家教委的《中學數學實驗教材》中尤其突出了數學思想和數學方法，體現了知識教學和能力培養的統一。本文就著重探討高中數學內容中所蘊含的數學思想方法，並對實驗教材與普通教材在數學思想方法處理方面進行比較。
二、高中數學應該滲透的主要數學思想方法
1、數學思想與數學方法
數學思想與數學方法目前尚沒有確切的定義，我們通常認為，數學思想就是“人對數學知識的本質認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點，它在認識活動中被反覆運用，帶有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想”。就中學數學知識體系而言，中學數學思想往往是數學思想中最常見、最基本、比較淺顯的內容，例如：模型思想、極限思想、統計思想、化歸思想、分類思想等。數學思想的高層次的理解，還應包括關於數學概念、理論、方法以及形態的產生與發展規律的認識，任何一個數學分支理論的`建立，都是數學思想的應用與體現。
所謂數學方法，是指人們從事數學活動的程式、途徑，是實施數學思想的技術手段，也是數學思想的具體化反映。所以說，數學思想是內隱的，而數學方法是外顯的，數學思想比數學方法更深刻，更抽象地反映了數學物件間的內在聯絡。由於數學是逐層抽象的，數學方法在實際運用中往往具有過程性和層次性特點，層次越低操作性越強。如變換方法包括恆等變換，恆等變換中又分換元法、配方法、待定係數法等等。
總之，數學思想和數學方法有區別也有聯絡，在解決數學問題時，總的指導思想是把問題化歸為能解決的問題，而為實現化歸，常用如一般化、特殊化、類比、歸納、恆等變形等方法，這時又常稱用化歸方法。一般來說，強調指導思想時稱數學思想，強調操作過程時稱數學方法。
2、高中數學應該滲透的主要數學思想方法
中學數學教育大綱中明確指出數學基礎知識是指：數學中的的概念、性質、法則、公式、公理、定理及由數學基礎內容反映出來的數學思想方法。可見數學思想方法是數學基礎知識的內容，而這些數學思想方法是融合在數學概念、定理、公式、法則、定義之中的。
在國中數學中，主要數學思想有分類思想、集合對應思想、等量思想、函式思想、數形結合思想、統計思想和轉化思想。與之對應的數學方法有理論形成的方法，如觀察、類比、實驗、歸納、一般化、抽象化等方法，還有解決問題的具體方法，如代入、消元、換元、降次、配方、待定係數、分析、綜合等方法。這些數學思想與方法，在義務教材的編寫中被突出的顯現出來。
在高中數學教材中，一方面以抽象性更強的高中數學知識為載體，從更高層次延續國中涉及的那些數學思想方法的學習應用，如函式與對映思想、分類思想、集合對應思想、數形結合思想、統計思想和化歸思想等。另一方面，結合高中數學知識，介紹了一些新的數學思想方法，如向量思想、極限思想，微積分方法等。
因為其中一些數學思想方法都介紹很多了，這裡只談一下初等微積分的基本思想方法。無窮的方法，即極限思想方法是初等微積分的基本思想方法，所謂極限思想（方法）是用聯絡變動的觀點，把考察的物件（例如圓面積、變速運動物體的瞬時速度、曲邊梯形面積等）看作是某物件（內接正n邊形的面積、勻速運動的物體的速度，小矩形面積之和）在無限變化過程中變化結果的思想（方法），它出發於對過程無限變化的考察，而這種考察總是與過程的某一特定的、有限的、暫時的結果有關，因此它體現了“從在限中找到無限，從暫時中找到永久，並且使之確定起來”（恩格斯語）的一種運動辨證思想，它不僅包括極限過程，而且又完成了極限過程。縱觀微積分的全部內容，極限思想方法及其理論貫穿始終，是微積分的基礎
三、普通教材與實驗教材在數學思想方法處理方面的比較
普通高中教育是與九年義務教育相銜接的高一層次基礎教育，在數學教材的編寫上，必須要注意培養學生的創新精神、實踐能力和終身學習的能力。與舊教材相比，新的數學教材開始重視滲透數學思想方法，那麼高中現行使用的普通教材與實驗教材在數學思想方法處理方面有何異同呢？因為內容太多，下面只能粗略的作一比較。
1、相同之處在於
普通教材與實驗教材都多將數學思想方法的展示，融合在數學的定義、定理、例題中。例如集合的思想，就是通過集合的定義“把某些指定的物件集在一起就成為一個集合”，及通過用集合語言來表述問題，體現了集合思想方法來處理數學問題的直觀性，深刻性，簡潔性。對非常重要的數學思想方法也採用單獨介紹的方式，如普通教材與實驗教材都將歸納法列為一節，詳細學習。
2、不同之處在於
（1）有些在普通教材中隱含方式出現的數學思想方法，在實驗教材中被明確的指出來，並用以指導相關數學知識的展開。
關於數學方法
我們舉不等式證明方法的例子。實驗教材在不等式一章第三節“證明不等式”中詳細講述了不等式證明的方法，比較法、綜合法、分析法、反證法。普通教材中雖然也在不等式一章，列出第三節“不等式的證明”介紹比較法、綜合法、分析法，但對方法的分析不夠透徹，更象是為了解釋例題。比如在綜合法的介紹中，普通教材只講：“有時我們可以用某些已經證明過的不等式（例如算術平均數與幾何平均數的定理）和不等式的性質推匯出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法。”而在實驗教材更準確更詳細的介紹：“依據不等式的基本性質和已知的不等式，正確運用邏輯推理規律，逐步推匯出所要證明的不等式的方法，稱為綜合法。綜合法實質上是“由因導果”的直接論證，其要點是：四已知性質、定理、出發，逐步匯出其“必要條件”，直到最後的“必要條件”是所證的不等式為止”。分析法的介紹也是這樣，在實驗教材中給出了分析法實質是“執果索因”的說明，這樣學生能清楚的領會綜合法、分析法的要義，會證不等式的同時學會了綜合法和分析法，而不僅是能證明幾個不等式。
關於數學思想
在實驗教材第一冊（下）研究性課題“函式學思想及其應用”中，明確提出“把一個看上去不是明顯的函式問題，通過、或者構造一個新函式，利用研究函式的性質和圖象，解決給出的問題，就是函式思想”，並舉例用函式思想解決最值問題、方程、不等式問題，及一些實際應用的問題。其實普通教材在講函式時也在用運動、變化的觀點，分析研究具體問題中的數量關係，通過函式形式把這種數量關係進行刻劃並加以研究，但從未提函式思想方法。雖然實驗教材中只是以研究性課題的形式，對函式思想作以介紹和應用探討，可這已經是一種重視數學思想方法的訊號，隨著今後素質教育的推進，和實踐經驗的積累，我想數學思想方法在數學教材中會有更明確的介紹。我們舉向量的例子。
（2）實驗教材中還增加了一些數學思想方法的介紹。
關於數學方法
普通教材在第一冊第三章“數列”中只介紹了數列的概念、等差等比數列及其求和，而在實驗教材第二冊（下）的第十章“數列”中增加了第四節“數列應用舉例”介紹了作差，將某些複雜數列轉化為等差等比數列的方法。這在潛移默化中也滲透了轉化的思想。又如在第一冊（上）中，增加了研究性課題“待定係數法的原理、方法及初步應用”，閱讀材料“插值公式與實驗公式”，雖然不是作為正式章節，但也體現了對數學思想方法的重視。再如數學歸納法普通教材介紹的相當簡略，而實驗教材詳細介紹了什麼是歸納法，歸納法的結論是否一定正確，什麼是數學歸納法歸納起始命題等問題，還舉了大量例子，切實注重讓學生真正理解方法。
關於數學思想
實驗教材中對向量，解析幾何的處理體現了將向量思想，幾何代數化思想的引入，並用這些數學思想方法來統領相關數學知識的介紹。實驗教材在第六章“平面向量”開首就講：“代數學的基本思想方法是運用運算律去系統地解答各種型別的代數問題；幾何學研究探索的內容是空間圖形的性質。……在這一章中，我們首先要把表達“一點相對另一點的位置”的量定義為一種新型的基本幾何量……我們稱之為向量，……這樣，我們就可以用代數的方法研究平面圖形性質，把各種各樣的幾何問題用向量運算的方法來解答。再看普通教材第五章“平面向量”的前提介紹：“……，位移是一個既有大小又有方向的量，這種量就是我們本章報要研究的向量。向量是數學中的重要概念之一。向量和數一樣也能進行運算，而且用向量的有關知識更新還能有效地解決數學、物理、等學科中的很多問題。這一章裡，我們將學習向量的概念、運算及其簡單的應用。”顯然實驗教材是從數學思想方法的高度來引入向量，這也使後面內容的學習可以以此為線索，體現了知識的內在統一。實驗教材在第六章“平面向量”之後，緊接著設定了第七章“直線和圓”，從第七章的內容提要中我們看出這樣設計是有良苦用心的。內容提要如下：“人們對於事物的認識和理解，總是要經過逐步深化的過程和不斷推進的階段。對於空間的認識和理解，就是先有實驗幾何，然後推進到推理幾何，理推進到解析幾何。在第六章，我們引進了平面向量，並且建立了向量的基本運算結構，把平面圖形的基本性質轉化為得量的運算和運算律，從而奠定了空間結構代數化的基礎；再通過向量及其運算的座標表示，實現了從推理幾何到解析幾何的轉折。解析幾何是用座標方法研究圖形，基本思想是通過座標系，把點與座標、曲線與方程等聯絡起來，從而達到形與數的結合，把幾何問題轉化為代數問題進行研究和解決。”並且在後面直線的方程、直線的位置關係點到直線的距離幾節中都自然而然的延續了向量的思想和方法，使直線的學習連慣、完整、深刻。而普通教材將第一冊（下）的第五章設為“平面向量”，在第二冊（上）的第七章才設定“直線和圓的方程”，中間隔了不等式一章，並且在內容上，也沒有將向量與直線方程聯絡起來，關於法向量、點直線點法式方程都沒有講，只是隨後設定了“向量與直線”的閱讀材料簡單介紹法向量、直線間的位置關係。
四、重視數學思想方法，深化數學教材改革
1、在知識發生過程中滲透數學思想方法
這主要是指定義、定理公式的教學。一是不簡單下定義。數學的概念既是數學思維基礎，又是數學思維的結果。概念教學不應簡單地給出定義，而是應引導學生感受或領悟隱含於概念形成之中的數學思想方法。二是定理公式介紹中不過早下結論，可能的話展示定理公式的形成過程，給教師、學生留有參與結論的探索、發現和推導過程的機會。
２、在解決問題方法的探索中啟用數學思想方法
①注重解題思路的數學思想方法分析。在例題、定理證明活動中，揭示其中隱含的數學思維過程，才能有效地培養和發展學生的數學思想方法。如運用類比、歸納、猜想等思想，發現定理的結論，學會用化歸思想指導探索論證途徑等。
②增強解題的數學思想方法指導。解題的思維過程都離不開數學思想的指導，可以說，數學思想指導是開通解題途徑的金鑰匙。將解題過程從數學思想高度進行提煉和反思，並從理論高度敘述數學思想方法，對學生真正理解掌握數學思想方法，產生廣泛遷移有重要意義。３、在知識的總結歸納過程中概括數學思想方法，以數學思想方法為主線貫穿相關知識
概括數學思想方法可以從某個概念、定理、公式和問題教學中縱橫歸納，反過來也可以以數學思想方法統領相關知識，
總之，數學思想方法是數學的靈魂和精髓，我們在中學數學教材中，應努力體現數學思想方法，不失時機的向學生滲透數學思想方法，學生方能在運用數學解決問題自覺運用數學思想方法分析問題、解決問題，這也是素質教育的要求。
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